Um segmento de reta uniformemente carregado com uma carga cuja densidade linear é apóia-se sobre o eixo x , desde até .
(a) Determine a carga total.
b) Deduza através da integral, o campo elétrico em um ponto y qualquer.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta carregado uniformemente com uma densidade linear de carga . Esse segmento está no eixo x, indo de até . Vamos precisar calcular:
a) A carga total desse segmento.
b) O campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo y, usando integrais.
Passo 2
Para calcular a carga total, precisamos usar a relação entre densidade linear de carga e carga total. A densidade linear de carga () é definida como a carga por unidade de comprimento. Então, a carga total () é o produto da densidade linear de carga pelo comprimento total do segmento.
Passo 3
Primeiro, vamos converter as posições de centímetros para metros, já que a densidade está em nanocoulombs por metro:
O comprimento total () do segmento é:
Passo 4
Agora, calculamos a carga total usando:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos encontrar o campo elétrico em um ponto qualquer ao longo do eixo y devido a esse segmento de carga. Vamos usar a lei de Coulomb e integrais para somar as contribuições de cada elemento infinitesimal de carga ao campo elétrico total.
Passo 6
Considere um elemento de carga infinitesimal localizado em uma posição no eixo x. A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto será:
onde é a distância entre e o ponto , e é o vetor unitário na direção de .
Passo 7
Vamos expressar em termos de e :
A distância é:
E o vetor unitário tem componentes:
Passo 8
Devido à simetria, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Assim, a componente vertical do campo elétrico devido a é:
Passo 9
Para encontrar o campo elétrico total , integramos de a :
Passo 10
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Passo 11
Simplificando:
Resposta
a) A carga total é .
b) O campo elétrico em um ponto a uma distância ao longo do eixo y é: