Um segmento de reta uniformemente carregado com uma carga cuja densidade linear é lambda=4,5 nC / m apóia-se sobre o eixo x , desde x=-5 cm até x=5 cm.
(a) Determine a carga total.
b) Deduza através da integral, o campo elétrico em um ponto y qualquer.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta carregado uniformemente com uma densidade linear de carga lambda = 4,5 , nC/m. Esse segmento está no eixo x, indo de x = -5 , cm até x = 5 , cm. Vamos precisar calcular:
a) A carga total desse segmento.
b) O campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo y, usando integrais.

Passo 2

Para calcular a carga total, precisamos usar a relação entre densidade linear de carga e carga total. A densidade linear de carga ( lambda) é definida como a carga por unidade de comprimento. Então, a carga total ( Q) é o produto da densidade linear de carga pelo comprimento total do segmento.

Passo 3

Primeiro, vamos converter as posições de centímetros para metros, já que a densidade está em nanocoulombs por metro:
x = -5 , cm = -0,05 , m, x = 5 , cm = 0,05 , m
O comprimento total ( L) do segmento é:
L = 0,05 , m - (-0,05 , m) = 0,10 , m

Passo 4

Agora, calculamos a carga total usando:
Q = lambda times L
Substituindo os valores:
Q = 4,5 times 10^-9 , C/m times 0,10 , m = 4,5 times 10^-10 , C

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos encontrar o campo elétrico em um ponto qualquer ao longo do eixo y devido a esse segmento de carga. Vamos usar a lei de Coulomb e integrais para somar as contribuições de cada elemento infinitesimal de carga ao campo elétrico total.

Passo 6

Considere um elemento de carga infinitesimal dq localizado em uma posição x no eixo x. A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto (0, y) será:
dE = 14piepsilon0 dqr^2 r
onde r é a distância entre dq e o ponto (0, y), e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 7

Vamos expressar dq em termos de lambda e dx:
dq = lambda , dx
A distância r é:
r = raizx^2 + y^2
E o vetor unitário r tem componentes:
r = ( -xraizx^2 + y^2, yraizx^2 + y^2 )

Passo 8

Devido à simetria, as componentes horizontais dos campos elétricos se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Assim, a componente vertical do campo elétrico devido a dq é:
dEy = 14piepsilon0 lambda , y , dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 9

Para encontrar o campo elétrico total Ey, integramos dEy de x = -0,05 , m a x = 0,05 , m:
Ey = lambda y4piepsilon0 integral-0,05^0,05 dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 10

Resolvendo a integral:
integral dx(x^2 + y^2)^3/2 = xy^2 raizx^2 + y^2
Aplicando os limites:
Ey = lambda y4piepsilon0 [ xy^2 raizx^2 + y^2 ]-0,05^0,05
Ey = lambda4piepsilon0 y [ 0,05raiz0,05^2 + y^2 - ( -0,05raiz0,05^2 + y^2 ) ]
Ey = lambda4piepsilon0 y ( 0,10raiz0,0025 + y^2 )

Passo 11

Simplificando:
Ey = lambda cdot 0,104piepsilon0 y raiz0,0025 + y^2
Ey = lambda cdot 0,104piepsilon0 y raizy^2 + 0,0025

Resposta

a) A carga total é Q = 4,5 times 10^-10 , C.
b) O campo elétrico em um ponto a uma distância y ao longo do eixo y é:
Ey = lambda cdot 0,104piepsilon0 y raizy^2 + 0,0025

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