Uma esfera oca com paredes finas possui raio de
e uma quantidade desconhecida de carga distribuída uniformemente sobre sua superfície. A uma distância de 0,300 m do centro da esfera, o campo elétrico aponta radialmente para o centro e possui módulo
. Quanta carga há na esfera?
Considere
Considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera oca com raio de 0,25 metros e uma quantidade desconhecida de carga distribuída de maneira uniforme na sua superfície. O objetivo aqui é descobrir quanta carga tem nessa esfera. Para isso, vamos precisar usar Lei de Gauss, que é uma ferramenta super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria, como essa de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde está o ponto onde o campo elétrico foi medido. Ele está a 0,300 metros do centro da esfera. Como esse ponto está fora da esfera (porque 0,300 m é maior que o raio de 0,25 m), podemos tratar a esfera como se toda a carga estivesse concentrada no centro quando usamos a Lei de Gauss.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante ε₀ (varepsilon zero). Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
-
é o fluxo elétrico -
é a carga total dentro da superfície gaussiana -
é a constante de permissividade do vácuo, que vale
Passo 4
Como a esfera é esférica e a carga está distribuída uniformemente, o campo elétrico
em qualquer ponto fora da esfera é radial e tem o mesmo valor em todos os pontos a uma mesma distância. O fluxo elétrico para uma esfera gaussiana de raio
é então:
Onde:
-
é o módulo do campo elétrico -
é a área da superfície da esfera gaussiana
Passo 5
Igualando as duas expressões para o fluxo elétrico, temos:
Agora, queremos encontrar
, então vamos isolar ele na equação:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores que a gente tem:
- Campo elétrico
-
-
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
- Multiplicar por
: - Multiplicar por
: (aproximadamente) - Multiplicar pelo campo elétrico:
Resposta
A quantidade de carga na esfera é aproximadamente
.
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e
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