Uma esfera foi seccionada por um plano. A secção formada tem raio 3 cm e foi feita a 4 cm do centro dessa esfera. Então, usando p = 3, o volume, em cm³, dessa esfera é:
a) 400
b) 270
c) 87
d) 125
e) 500
a) 400
b) 270
c) 87
d) 125
e) 500
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera que foi cortada por um plano, formando uma seção circular com raio de 3 cm. Esse corte foi feito a 4 cm do centro da esfera. Precisamos encontrar o volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e cortes planos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera com um centro. Quando cortamos a esfera com um plano, o que sobra é um círculo conhecido como interseção ou seção do corte. Sabemos que o raio desse círculo é de 3 cm e a distância do centro da esfera até o plano de corte é de 4 cm.
Passo 3
Para encontrar o volume da esfera, precisamos descobrir o raio da esfera. Vamos chamar o raio da esfera de $ R $. Sabemos que a distância do centro da esfera ao plano de corte é de 4 cm e o raio da seção é de 3 cm. Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado por esses dois segmentos e o próprio raio da esfera.
Passo 4
Aplicando o teorema de Pitágoras:
Então, o raio da esfera é 5 cm.
Passo 5
Agora que temos o raio da esfera, podemos calcular o volume usando a fórmula do volume da esfera:
Substituindo $ R = 5 , cm $:
Aproximando $ \pi $ por 3,14:
No entanto, observando as opções disponíveis, a mais próxima é 500 cm³.
Resposta
A resposta correta é e) 500 cm³.