Uma esfera foi seccionada por um plano. A secção formada tem raio 3 cm e foi feita a 4 cm do centro dessa esfera. Então, usando p = 3, o volume, em cm³, dessa esfera é:
a) 400
b) 270
c) 87
d) 125
e) 500

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera que foi cortada por um plano, formando uma seção circular com raio de 3 cm. Esse corte foi feito a 4 cm do centro da esfera. Precisamos encontrar o volume dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e cortes planos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine uma esfera com um centro. Quando cortamos a esfera com um plano, o que sobra é um círculo conhecido como interseção ou seção do corte. Sabemos que o raio desse círculo é de 3 cm e a distância do centro da esfera até o plano de corte é de 4 cm.

Passo 3

Para encontrar o volume da esfera, precisamos descobrir o raio da esfera. Vamos chamar o raio da esfera de $ R $. Sabemos que a distância do centro da esfera ao plano de corte é de 4 cm e o raio da seção é de 3 cm. Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado por esses dois segmentos e o próprio raio da esfera.

Passo 4

Aplicando o teorema de Pitágoras:
R^2 = 4^2 + 3^2
R^2 = 16 + 9
R^2 = 25
R = raiz25 = 5 , cm
Então, o raio da esfera é 5 cm.

Passo 5

Agora que temos o raio da esfera, podemos calcular o volume usando a fórmula do volume da esfera:
V = 43 pi R^3
Substituindo $ R = 5 , cm $:
R = 5 , cm
V = 43 pi (5)^3
V = 43 pi 125
Aproximando $ \pi $ por 3,14:
V = 5003 pi ³
No entanto, observando as opções disponíveis, a mais próxima é 500 cm³.

Resposta

A resposta correta é e) 500 cm³.

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