Uma esfera foi solta de uma certa altura e no sétimo segundo de sua queda percorre 1/13 do percurso total. Determine a velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão? (
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera que foi solta de uma certa altura e, no sétimo segundo da queda, ela percorre 1/13 do percurso total. A gente precisa descobrir qual é a velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento com aceleração constante, já que a esfera está caindo sob a influência da gravidade (com $ g = 10 , m/s^2 $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância percorrida por um objeto em queda livre é dada por:
onde:
- $ s(t) $ é a distância percorrida no tempo $ t $,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (10 m/s²),
- $ t $ é o tempo em segundos.
Passo 3
A velocidade final da esfera quando ela bate no chão pode ser encontrada usando a fórmula da velocidade para movimento uniformemente acelerado:
Aqui, $ v $ é a velocidade final e $ t $ é o tempo total de queda.
Passo 4
Agora, vamos entender o que significa que no sétimo segundo (de $ t = 6 $ s a $ t = 7 $ s), a esfera percorre 1/13 do percurso total. Isso quer dizer que a distância percorrida nesse intervalo de tempo é:
onde $ s_{total} $ é a distância total percorrida até o chão.
Passo 5
Calculando $ s(7) $ e $ s(6) $ usando a primeira fórmula:
Então, a distância percorrida no sétimo segundo é:
Passo 6
De acordo com a questão:
Resolvendo para $ s_{total} $:
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula da distância total para encontrar o tempo total de queda $ t_f $:
Simplificando:
Passo 8
Com o tempo total de queda $ t_f = 13 $ segundos, podemos encontrar a velocidade final usando a fórmula da velocidade:
Resposta
A velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão é 130 m/s.