Uma esfera foi solta de uma certa altura e no sétimo segundo de sua queda percorre 1/13 do percurso total. Determine a velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão? ( g=10 m / s^2 )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera que foi solta de uma certa altura e, no sétimo segundo da queda, ela percorre 1/13 do percurso total. A gente precisa descobrir qual é a velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento com aceleração constante, já que a esfera está caindo sob a influência da gravidade (com $ g = 10 , m/s^2 $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância percorrida por um objeto em queda livre é dada por:
s(t) = 12 g t^2
onde:
  • $ s(t) $ é a distância percorrida no tempo $ t $,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (10 m/s²),
  • $ t $ é o tempo em segundos.

Passo 3

A velocidade final da esfera quando ela bate no chão pode ser encontrada usando a fórmula da velocidade para movimento uniformemente acelerado:
v = g t
Aqui, $ v $ é a velocidade final e $ t $ é o tempo total de queda.

Passo 4

Agora, vamos entender o que significa que no sétimo segundo (de $ t = 6 $ s a $ t = 7 $ s), a esfera percorre 1/13 do percurso total. Isso quer dizer que a distância percorrida nesse intervalo de tempo é:
t = 6
onde $ s_{total} $ é a distância total percorrida até o chão.

Passo 5

Calculando $ s(7) $ e $ s(6) $ usando a primeira fórmula:
s(7)
s(6)
Então, a distância percorrida no sétimo segundo é:
s(7) = 12 times 10 times 7^2 = 12 times 10 times 49 = 245 , m

Passo 6

De acordo com a questão:
De
Resolvendo para $ s_{total} $:
stotal

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula da distância total para encontrar o tempo total de queda $ t_f $:
tf
Simplificando:
stotal = 12 g tf^2 Rightarrow 845 = 12 times 10 times tf^2

Passo 8

Com o tempo total de queda $ t_f = 13 $ segundos, podemos encontrar a velocidade final usando a fórmula da velocidade:
tf = 13

Resposta

A velocidade da esfera no instante em que ela bate no chão é 130 m/s.

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