Do teto de um elevador de 3,50 m de altura, subindo com uma aceleração de retardamento de 2 m / s^2, cai um parafuso no momento em que sua velocidade é de 3 m / s. Determine depois de quanto tempo o parafuso toca o chão do elevador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elevador que está subindo com uma altura de 3,50 metros. Nesse momento, o elevador está desacelerando, ou seja, a sua aceleração está na direção contrária ao movimento, com um valor de 2 , m/s^2. Um parafuso cai do teto do elevador quando a velocidade dele é de 3 , m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo vai passar até que o parafuso chegue no chão do elevador.
Vamos precisar usar os conceitos de movimento uniformemente variado, já que temos aceleração envolvida, e também entender como a aceleração do elevador afeta o movimento do parafuso dentro dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o parafuso cai. No instante em que ele é solto, ele tem uma velocidade inicial igual à velocidade do elevador, que é 3 , m/s para cima. Porém, a partir desse momento, o parafuso está sujeito apenas à aceleração da gravidade, que puxa ele para baixo com g = 9,8 , m/s^2.
Mas, como o elevador também está desacelerando para cima com ae = 2 , m/s^2, isso vai influenciar na posição do chão em relação ao parafuso.

Passo 3

Vamos estabelecer o sistema de referência. Vamos considerar a origem no teto do elevador, com o eixo positivo para baixo (facilitando os sinais das acelerações). Nesse sistema:
  • A posição inicial do parafuso é y0 = 0.
  • A velocidade inicial do parafuso é v0 = 3 , m/s (para cima, mas como nosso eixo é para baixo, fica -3 , m/s).
  • A aceleração do parafuso será a soma da aceleração devida à gravidade e a aceleração do elevador. Como o elevador está desacelerando para cima, isso equivale a uma aceleração para baixo: a = g + ae = 9,8 + 2 = 11,8 , m/s^2.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação do movimento uniformemente variado para a posição do parafuso em função do tempo:
y(t) = y0 + v0 t + 12 a t^2
Substituindo os valores:
y(t) = 0 + (-3) t + 12 times 11,8 times t^2 = -3t + 5,9 t^2
O parafuso tocará o chão do elevador quando a posição dele for igual à altura do elevador, que é 3,50 , m. Mas lembre-se que definimos o eixo positivo para baixo, então temos:
-3t + 5,9 t^2 = 3,50

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática:
5,9 t^2 - 3t - 3,50 = 0
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 5,9
  • b = -3
  • c = -3,50
Substituindo:
t = -(-3) pm raiz(-3)^2 - 4 times 5,9 times (-3,50)2 times 5,9
t = 3 pm raiz9 + 82,611,8
t = 3 pm raiz91,611,8
t = 3 pm 9,5811,8

Passo 6

Vamos considerar apenas a solução positiva, já que tempo não pode ser negativo:
t = 3 + 9,5811,8 = 12,5811,8 approx 1,07 , s

Resposta

O parafuso tocará o chão do elevador aproximadamente após 1,07 , segundos.

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