Uma esfera gira em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda leve, que passa em torno do equador da esfera e por uma polia, tem um objeto pendente em sua outra extremidade. Qual é a velocidade do objeto suspenso, inicialmente em repouso, após ele ter descido uma distância h ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera que está girando em torno de um eixo vertical, sem atrito. Uma corda leve passa pelo equador da esfera e, por meio de uma polia, sustenta um objeto. Queremos descobrir qual é a velocidade desse objeto depois que ele desceu uma altura . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética tanto da translacional do objeto quanto da rotacional da esfera, além de considerar a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Quando o objeto desce, ele perde energia potencial gravitacional, que vai se transformar em energia cinética de movimento e energia cinética de rotação da esfera.
A energia potencial inicial do objeto é dada por:
Ep = mgh
onde é a massa do objeto, é a aceleração da gravidade e é a altura descida.

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia cinética. O objeto que desce ganha energia cinética de movimento, que é:
Ecin, mov = 12mv^2
Além disso, como a corda está enrolada na esfera, a esfera também gira quando o objeto desce, ganhando energia cinética rotacional:
Ecin, rot = 12Iomega^2
Aqui, é o momento de inércia da esfera e é a velocidade angular.

Passo 4

Precisamos relacionar a velocidade linear v = Romega do objeto com a velocidade angular da esfera. Sabemos que:
onde é o raio da esfera. Assim, podemos escrever .

Passo 5

Vamos substituir Ecin, rot = 12I(vR)^2 = 12IR^2v^2 na expressão da energia cinética rotacional:
I = 25mesferaR^2
Para uma esfera uniforme, o momento de inércia é:
Ecin, rot = 12 cdot 25mesferaR^2R^2v^2 = 15mesferav^2
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Aplicamos a conservação de energia, onde a energia potencial perdida pelo objeto é igual à soma das energias cinéticas do movimento e da rotação:
mgh = 12mv^2 + 15mesferav^2
Assumindo que a massa da esfera é conhecida, podemos resolver para .

Passo 7

Vamos isolar mgh = v^2 ( 12m + 15mesfera ) :
v^2 = mgh12m + 15mesfera
v = raiz mgh12m + 15mesfera

Resposta

A velocidade do objeto após descer a altura v = raiz mgh12m + 15mesfera é:

Exercícios relacionados