Uma esfera gira em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda leve, que passa em torno do equador da esfera e por uma polia, tem um objeto pendente em sua outra extremidade. Qual é a velocidade do objeto suspenso, inicialmente em repouso, após ele ter descido uma distância ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera que está girando em torno de um eixo vertical, sem atrito. Uma corda leve passa pelo equador da esfera e, por meio de uma polia, sustenta um objeto. Queremos descobrir qual é a velocidade desse objeto depois que ele desceu uma altura . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética tanto da translacional do objeto quanto da rotacional da esfera, além de considerar a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Quando o objeto desce, ele perde energia potencial gravitacional, que vai se transformar em energia cinética de movimento e energia cinética de rotação da esfera.
A energia potencial inicial do objeto é dada por:
onde é a massa do objeto, é a aceleração da gravidade e é a altura descida.

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia cinética. O objeto que desce ganha energia cinética de movimento, que é:
Além disso, como a corda está enrolada na esfera, a esfera também gira quando o objeto desce, ganhando energia cinética rotacional:
Aqui, é o momento de inércia da esfera e é a velocidade angular.

Passo 4

Precisamos relacionar a velocidade linear do objeto com a velocidade angular da esfera. Sabemos que:
onde é o raio da esfera. Assim, podemos escrever .

Passo 5

Vamos substituir na expressão da energia cinética rotacional:
Para uma esfera uniforme, o momento de inércia é:
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Aplicamos a conservação de energia, onde a energia potencial perdida pelo objeto é igual à soma das energias cinéticas do movimento e da rotação:
Assumindo que a massa da esfera é conhecida, podemos resolver para .

Passo 7

Vamos isolar :

Resposta

A velocidade do objeto após descer a altura é:

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Um volante circular começa a girar, do repouso, com aceleração angular de . d) Quanto valerão, nesse instante, a velocidade linear e a aceleração tangencial de um ponto a do eixo de rotação?
Prove as seguintes afirmações: (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.
Quatro roldanas e ) estão ligadas por duas correias e . A roldana ) é a roldana impulsora, que gira com velocidade angular constante e igual a . A roldana está ligada pela correia a à roldana . A roldana é concêntrica com a roldana e está rigidamente ligada a ela. A roldana está ligada pela correia à roldana . Determine: e) a velocidade angular da roldana ;
A roda , de de raio, é acoplada por uma correia à roda , cujo raio vale . A roda aumenta sua velocidade angular, a partir do repouso, à uma taxa uniforme de . Supondo que a correia não deslize, b) a aceleração de um ponto fixo à correia neste instante.