Prove as seguintes afirmações: (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o tempo total de uma trajetória (como o tempo que um objeto leva para ir e voltar) é o dobro do tempo que ele leva para atingir a altura máxima. Isso está relacionado ao conteúdo de cinemática, mais especificamente ao movimento vertical sob a influência da gravidade.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o movimento de subida e descida funciona quando apenas a gravidade está atuando no objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que o objeto é lançado para cima com uma certa velocidade inicial
. Enquanto ele sobe, a gravidade está diminuindo sua velocidade até que ele para momentaneamente no ponto mais alto.
A equação que descreve a velocidade do objeto em qualquer instante
durante a subida é:
Onde:
-
é a velocidade no tempo , -
é a aceleração da gravidade ( ).
Passo 3
No ponto máximo da trajetória, a velocidade do objeto é zero (
). Vamos usar isso para encontrar o tempo que leva para atingir essa altura máxima (
).
Resolvendo para
:
Então, o tempo para chegar na altura máxima é
.
Passo 4
Agora, vamos pensar no tempo total da trajetória. Depois de atingir a altura máxima, o objeto começa a descer, acelerado pela gravidade, até voltar ao ponto de partida.
A subida e a descida são simétricas em termos de tempo quando a aceleração da gravidade é constante e não há resistência do ar. Isso significa que o tempo que leva para descer é igual ao tempo que levou para subir.
Então, o tempo total
é:
Passo 5
Substituindo
que encontramos antes:
Isso mostra que o tempo total da trajetória é o dobro do tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima.
Resposta
Portanto, provamos que o tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima, ou seja:
Exercícios relacionados
Prove as seguintes afirmações: (a) desprezando os efeitos do ar, quando você lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento tanto durante a ascensão quanto durante a queda.
No sistema mostrado na Figura, as massas dos blocos 1 e 2 são
e
. Os coeficientes de atrito entre o bloco 1 e a superfície horizontal plana são
(estático) e
0,31 (cinético). Se o sistema for liberado em repouso, com que aceleração (
) o bloco 2 cai (se é que cai)?
Um volante circular começa a girar, do repouso, com aceleração angular de
. d) Quanto valerão, nesse instante, a velocidade linear e a aceleração tangencial de um ponto a
do eixo de rotação?
Uma esfera gira em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda leve, que passa em torno do equador da esfera e por uma polia, tem um objeto pendente em sua outra extremidade. Qual é a velocidade do objeto suspenso, inicialmente em repouso, após ele ter descido uma distância
?