Prove as seguintes afirmações: (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o tempo total de uma trajetória (como o tempo que um objeto leva para ir e voltar) é o dobro do tempo que ele leva para atingir a altura máxima. Isso está relacionado ao conteúdo de cinemática, mais especificamente ao movimento vertical sob a influência da gravidade.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o movimento de subida e descida funciona quando apenas a gravidade está atuando no objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o objeto é lançado para cima com uma certa velocidade inicial . Enquanto ele sobe, a gravidade está diminuindo sua velocidade até que ele para momentaneamente no ponto mais alto.
A equação que descreve a velocidade do objeto em qualquer instante durante a subida é:
Onde:
  • é a velocidade no tempo ,
  • é a aceleração da gravidade ( ²).

Passo 3

No ponto máximo da trajetória, a velocidade do objeto é zero ( ). Vamos usar isso para encontrar o tempo que leva para atingir essa altura máxima ( á).
á
Resolvendo para á:
á
Então, o tempo para chegar na altura máxima é .

Passo 4

Agora, vamos pensar no tempo total da trajetória. Depois de atingir a altura máxima, o objeto começa a descer, acelerado pela gravidade, até voltar ao ponto de partida.
A subida e a descida são simétricas em termos de tempo quando a aceleração da gravidade é constante e não há resistência do ar. Isso significa que o tempo que leva para descer é igual ao tempo que levou para subir.
Então, o tempo total é:
ááá

Passo 5

Substituindo á que encontramos antes:
Isso mostra que o tempo total da trajetória é o dobro do tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima.

Resposta

Portanto, provamos que o tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima, ou seja:
á

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