Uma esfera homogênea (
), inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da extremidade superior do trilho mostrado ao lado, saindo pela extremidade da direita. Se
e o extremo direito do trilho é horizontal, determine a distância
horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera que rola sem deslizar por um trilho. A gente precisa descobrir uma distância horizontal específica quando a esfera toca o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica, movimento rotacional e movimento de projétil. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial, energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e das equações do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação. A esfera começa no repouso na altura
. Ela desce pelo trilho até a altura
, saindo então em uma trajetória horizontal. Como a esfera rola sem deslizar, a energia potencial inicial se transforma em energia cinética de movimento e energia cinética de rotação.
Passo 3
Vamos calcular a energia potencial inicial da esfera. A fórmula é:
Onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura inicial.
Passo 4
Quando a esfera desce até a altura
, a energia potencial restante é:
A diferença de energia,
, é convertida em energia cinética total
:
Passo 5
A energia cinética total
é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
):
Onde:
-
é a velocidade linear da esfera, -
é o momento de inércia da esfera, -
é a velocidade angular.
Passo 6
Como a esfera rola sem deslizar, existe uma relação entre
e
:
Substituindo
na equação da energia cinética:
Passo 7
Igualando a energia cinética total à diferença de energia potencial:
Simplificando
:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor de
:
Passo 9
Com a velocidade
calculada, podemos determinar quanto tempo a esfera leva para percorrer horizontalmente até tocar o chão. Sabemos que a altura final do trilho é horizontal, então a esfera sai com velocidade horizontal
e começa a cair livremente de uma altura
.
Vamos usar a equação do movimento vertical para encontrar o tempo
:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a distância horizontal
, usamos a velocidade horizontal
e o tempo
:
Resposta
A distância horizontal
é aproximadamente 47,73 metros.