Uma esfera homogênea ( I=2 / 5(W R^2) ), inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da extremidade superior do trilho mostrado ao lado, saindo pela extremidade da direita. Se H=60 m, h=20 m e o extremo direito do trilho é horizontal, determine a distância L horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera que rola sem deslizar por um trilho. A gente precisa descobrir uma distância horizontal específica quando a esfera toca o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica, movimento rotacional e movimento de projétil. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial, energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e das equações do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação. A esfera começa no repouso na altura . Ela desce pelo trilho até a altura , saindo então em uma trajetória horizontal. Como a esfera rola sem deslizar, a energia potencial inicial se transforma em energia cinética de movimento e energia cinética de rotação.

Passo 3

Vamos calcular a energia potencial inicial da esfera. A fórmula é:
Ep = m cdot g cdot H
Onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura inicial.

Passo 4

Quando a esfera desce até a altura Ep' = m cdot g cdot h , a energia potencial restante é:
Ec = m cdot g cdot (H - h) = m cdot g cdot (60 - 20) = m cdot g cdot 40
A diferença de energia, , é convertida em energia cinética total :

Passo 5

A energia cinética total Ec = Ec trans + Ec rot = 12 m v^2 + 12 I omega^2 é a soma da energia cinética de translação ( ) e da energia cinética de rotação ( ):
Onde:
  • é a velocidade linear da esfera,
  • é o momento de inércia da esfera,
  • é a velocidade angular.

Passo 6

Como a esfera rola sem deslizar, existe uma relação entre v = omega R implies omega = vR e Ec = 12 m v^2 + 12 ( 25 m R^2 ) ( vR )^2 = 12 m v^2 + 15 m v^2 = 710 m v^2 :
Substituindo na equação da energia cinética:

Passo 7

Igualando a energia cinética total à diferença de energia potencial:
710 m v^2 = m cdot g cdot 40
Simplificando 710 v^2 = g cdot 40 implies v^2 = 10 cdot g cdot 407 implies v = raiz400 g7 :

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor de v = raiz400 cdot 9,87 approx raiz39207 = raiz560 approx 23,66 , m/s :

Passo 9

Com a velocidade h = 12 g t^2 implies t = raiz2hg = raiz409,8 approx raiz4,08 approx 2,02 , s calculada, podemos determinar quanto tempo a esfera leva para percorrer horizontalmente até tocar o chão. Sabemos que a altura final do trilho é horizontal, então a esfera sai com velocidade horizontal e começa a cair livremente de uma altura .
Vamos usar a equação do movimento vertical para encontrar o tempo :

Passo 10

Finalmente, para encontrar a distância horizontal L = v cdot t = 23,66 , m/s times 2,02 , s approx 47,73 , m , usamos a velocidade horizontal e o tempo :

Resposta

A distância horizontal é aproximadamente 47,73 metros.

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