Uma esfera homogênea (
), inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da extremidade superior do trilho mostrado ao lado, saindo pela extremidade da direita. Se
e o extremo direito do trilho é horizontal, determine a distância
horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera que rola sem deslizar por um trilho. A gente precisa descobrir uma distância horizontal específica quando a esfera toca o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica, movimento rotacional e movimento de projétil. Vamos precisar das fórmulas de energia potencial, energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e das equações do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação. A esfera começa no repouso na altura
. Ela desce pelo trilho até a altura
, saindo então em uma trajetória horizontal. Como a esfera rola sem deslizar, a energia potencial inicial se transforma em energia cinética de movimento e energia cinética de rotação.
Passo 3
Vamos calcular a energia potencial inicial da esfera. A fórmula é:
Onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura inicial.
Passo 4
Quando a esfera desce até a altura
, a energia potencial restante é:
A diferença de energia,
, é convertida em energia cinética total
:
Passo 5
A energia cinética total
é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
):
Onde:
-
é a velocidade linear da esfera, -
é o momento de inércia da esfera, -
é a velocidade angular.
Passo 6
Como a esfera rola sem deslizar, existe uma relação entre
e
:
Substituindo
na equação da energia cinética:
Passo 7
Igualando a energia cinética total à diferença de energia potencial:
Simplificando
:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor de
:
Passo 9
Com a velocidade
calculada, podemos determinar quanto tempo a esfera leva para percorrer horizontalmente até tocar o chão. Sabemos que a altura final do trilho é horizontal, então a esfera sai com velocidade horizontal
e começa a cair livremente de uma altura
.
Vamos usar a equação do movimento vertical para encontrar o tempo
:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a distância horizontal
, usamos a velocidade horizontal
e o tempo
:
Resposta
A distância horizontal
é aproximadamente 47,73 metros.
Exercícios relacionados
Dado uma barra delgada uniforme de massa M e comprimento L, determine:
© O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado na extremidade direita da barra;
© O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado na extremidade direita da barra;
Um engenheiro está projetando uma peça de uma certa máquina que consiste em três conectores pesados ligados por suportes leves (Figura ao lado). Os conectores podem ser considerados como partículas pesadas conectadas por hastes com massas desprezíveis. Responda:
(b) Qual é o momento de inércia em torno de um eixo que coincide com a haste que vai de B para C?
(b) Qual é o momento de inércia em torno de um eixo que coincide com a haste que vai de B para C?
No instante
a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por
.
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero.
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular é igual a zero.
Uma pequena esfera de massa
, raio
e momento de inércia
é largada do repouso no ponto
e rola sem deslizar ao longo de um trilho
(Figura a lado). O trecho
é um plano inclinado de ângulo
e altura
e o trecho
é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;