Uma esfera isolante encontra-se uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
. Ela contém uma cavidade esférica em seu interior, de forma que a distância entre o centro da esfera e o centro da cavidade vale
. Mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e tem magnitude dada por
. Dica: Utilize o princípio da superposição.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma esfera isolante com carga distribuída de forma uniforme, ou seja, com densidade volumétrica de carga
. Dentro dessa esfera, há uma cavidade esférica cuja distância entre o centro da esfera e o centro da cavidade é
. Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e determinar sua magnitude, que deve ser
.
Para resolver isso, vamos utilizar o princípio da superposição, que nos permite somar os campos elétricos produzidos por diferentes distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, pense na esfera original sem a cavidade. Como ela é uniformemente carregada, o campo elétrico em qualquer ponto dentro dela, a uma distância
do centro, é dado por:
Aqui, usamos a lei de Gauss para uma distribuição de carga esférica.
Passo 3
Agora, considere a cavidade esférica dentro da esfera carregada. Podemos pensar na cavidade como se fosse uma esfera com carga negativa, ou seja, uma “esfera retirada”. A densidade de carga dessa esfera retirada seria
.
Aplicando o princípio da superposição, o campo elétrico total na cavidade será a soma do campo devido à esfera original e do campo devido à esfera retirada.
Passo 4
O campo elétrico devido à esfera retirada com centro deslocado a uma distância
do centro da esfera original é:
O sinal negativo indica que o campo da esfera retirada está na direção oposta ao campo da esfera original.
Passo 5
Somando os campos elétricos da esfera original e da esfera retirada, temos:
No entanto, há um detalhe importante: a esfera original tem um campo uniforme em toda a cavidade devido à superposição dos campos. Portanto, o campo resultante dentro da cavidade não é zero, mas sim:
Resposta
O campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e sua magnitude é dada por
.
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Um modelo eletrostático simples para o átomo de Hidrogênio consiste em tratarmos o próton como uma carga puntiforme
posicionada na origem de um sistema de coordenadas e o elétron como uma esfera maciça de raio
(o raio de Bohr), centrada na origem e uniformemente carregada com uma carga
, representando a nuvem eletrônica.
12a
Determine a densidade volumétrica de carga associada à nuvem eletrônica.
12a
Determine a densidade volumétrica de carga associada à nuvem eletrônica.
Considere as seguintes distribuições de carga:
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
6a
Para quais dessas distribuições podemos utilizar a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico produzido em todo o espaço? Justifique.
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
6a
Para quais dessas distribuições podemos utilizar a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico produzido em todo o espaço? Justifique.
Uma partícula de carga
é posicionada no centro de uma casca cubíca de aresta
. Nessa situação, calcule:
5a
O fluxo de campo elétrico produzido por sobre a superfície do cubo.
5a
O fluxo de campo elétrico produzido por
Sobre as Equações de Maxwell, nomeie, descreva e resuma os significados físicos de cada equação.
Exemplo:
Lei de Gauss para Eletricidade: (relaciona o fluxo elétrico às cargas elétricas envolvidas).
Exemplo:
Lei de Gauss para Eletricidade: