Uma esfera isolante encontra-se uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
. Ela contém uma cavidade esférica em seu interior, de forma que a distância entre o centro da esfera e o centro da cavidade vale
. Mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e tem magnitude dada por
. Dica: Utilize o princípio da superposição.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma esfera isolante com carga distribuída de forma uniforme, ou seja, com densidade volumétrica de carga
. Dentro dessa esfera, há uma cavidade esférica cuja distância entre o centro da esfera e o centro da cavidade é
. Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e determinar sua magnitude, que deve ser
.
Para resolver isso, vamos utilizar o princípio da superposição, que nos permite somar os campos elétricos produzidos por diferentes distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, pense na esfera original sem a cavidade. Como ela é uniformemente carregada, o campo elétrico em qualquer ponto dentro dela, a uma distância
do centro, é dado por:
Aqui, usamos a lei de Gauss para uma distribuição de carga esférica.
Passo 3
Agora, considere a cavidade esférica dentro da esfera carregada. Podemos pensar na cavidade como se fosse uma esfera com carga negativa, ou seja, uma “esfera retirada”. A densidade de carga dessa esfera retirada seria
.
Aplicando o princípio da superposição, o campo elétrico total na cavidade será a soma do campo devido à esfera original e do campo devido à esfera retirada.
Passo 4
O campo elétrico devido à esfera retirada com centro deslocado a uma distância
do centro da esfera original é:
O sinal negativo indica que o campo da esfera retirada está na direção oposta ao campo da esfera original.
Passo 5
Somando os campos elétricos da esfera original e da esfera retirada, temos:
No entanto, há um detalhe importante: a esfera original tem um campo uniforme em toda a cavidade devido à superposição dos campos. Portanto, o campo resultante dentro da cavidade não é zero, mas sim:
Resposta
O campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e sua magnitude é dada por
.