Uma placa isolante de espessura desprezível e as outras dimensões infinitas, tem densidade superficial de carga elétrica constante e igual a . Determine o campo elétrico em um local próximo a superfície da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão quer é descobrir qual é o campo elétrico perto de uma placa isolante que tem carga distribuída de maneira uniforme, com densidade superficial de carga igual a . Pra resolver isso, a gente vai usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos quando a distribuição de carga tem uma certa simetria, como nesse caso de uma placa infinita.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma superfície gaussiana que facilite os cálculos. Como a placa é infinita e tem simetria planar, a melhor escolha é imaginar um cilindro imaginário (chamado de “gaussiana”) que corta a placa perpendicularmente. Esse cilindro vai ter duas faces paralelas à placa e uma superfície lateral perpendicular a ela.

Passo 3

Agora, aplicamos a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana é igual à carga total dentro dela dividida por (a constante de permissividade do vácuo). A fórmula é:
Como a placa é infinita, o campo elétrico é perpendicular à placa e tem o mesmo módulo em ambos os lados dela. A contribuição do fluxo pela superfície lateral do cilindro é zero porque o campo é paralelo a ela.

Passo 4

Então, o fluxo elétrico total é apenas a soma dos fluxos das duas faces do cilindro. Se o campo elétrico tem o mesmo módulo em ambos os lados, o fluxo total é , onde é a área de cada face do cilindro.
A carga total dentro da superfície gaussiana é a densidade superficial de carga multiplicada pela área :
Substituindo na Lei de Gauss:
Simplificando dos dois lados:

Resposta

Finalmente, isolando , temos:
Então, o campo elétrico próximo à superfície da placa é igual a e aponta perpendicularmente para fora da placa se for positiva, ou para dentro se for negativa.

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