Uma esfera 1, isolante e raio igual a r, tem carga elétrica de módulo igual a q1 e que está distribuída uniformemente no volume da esfera. A esfera 1 é envolvida pela esfera 2, isolante e com raio igual a R, com carga elétrica igual a q2, e que está distribuída uniformemente no volume da casca esférica. a) Determine o campo elétrico em um local em que d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas isolantes com cargas elétricas distribuídas uniformemente. A primeira esfera tem raio e carga , e está completamente cercada pela segunda esfera, que tem raio e carga . Queremos descobrir o campo elétrico num ponto que está a uma distância do centro, onde (ou seja, dentro da primeira esfera). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e entender como a carga se distribui no interior de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que é essencial para calcular campos elétricos com simetria de esferas. A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qinteriorvarepsilon0
Aqui, é a carga total dentro da superfície gaussiana que escolhemos, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o ponto onde queremos calcular o campo está dentro da primeira esfera ( rho = q143pi r^3 ), só precisamos considerar a carga que está dentro de um raio . A carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, então podemos calcular a densidade de carga :

Passo 4

Agora, calculamos a carga Qinterior = rho times 43pi d^3 = q143pi r^3 times 43pi d^3 = q1 ( dr )^3 dentro do raio :

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, a superfície gaussiana é uma esfera de raio E times 4pi d^2 = Qinteriorvarepsilon0 . Devido à simetria esférica, o campo elétrico E times 4pi d^2 = q1 ( dr )^3varepsilon0 é constante em toda a superfície e perpendicular a ela. Então:
Substituindo :

Passo 6

Resolvendo para E = q1 ( dr )^34pi d^2 varepsilon0 = q14pi varepsilon0 r^3 times d :

Resposta

O campo elétrico no ponto onde E = q14pi varepsilon0 r^3 cdot d é dado por:

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