Uma esfera isolante sólida de raio R tem uma densidade de carga não uniforme que varia com r de acordo com a expressão rho=A r^2, onde A é uma constante e r é medida a partir do centro da esfera. Mostre que o campo elétrico dentro da esfera (r é E=A r^3 / 5 epsilon0. (Dica: Observe que a carga total Q na esfera é igual à integral de rho d V, onde r vai de 0 a R; observe também que a carga q dentro de um raio r é menor do que Q. Para calcular as integrais, observe que o elemento de volume d V para uma casca esférica de raio r a espessura d r é igual a 4 pi r^2 d r.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante sólida com raio R e uma densidade de carga que não é constante, mas varia com a distância ao centro. A densidade de carga está dada por rho = A r^2, onde A é uma constante e r é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico E dentro dessa esfera, ou seja, para r < R. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de carga elétrica, densidade de carga, integração em coordenadas esféricas e a lei de Gauss da eletricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga total Q na esfera é obtida integrando a densidade de carga rho sobre todo o volume da esfera. Como a densidade depende de r, precisamos usar coordenadas esféricas para fazer essa integração. O elemento de volume dV para uma casca esférica de raio r e espessura dr é 4pi r^2 dr. Então, a carga total é:
Q = integral0^R rho , dV = integral0^R A r^2 cdot 4pi r^2 dr = 4pi A integral0^R r^4 dr

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
Q = 4pi A [ r^55 ]0^R = 4pi A cdot R^55 = 4pi A R^55
Então, a carga total na esfera é 4pi A R^55.

Passo 4

Agora, para encontrar o campo elétrico E em um ponto dentro da esfera a uma distância r < R do centro, vamos usar a lei de Gauss. Segundo essa lei, o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga encerrada dividida pela permissividade do vácuo epsilon0. Para uma esfera de raio r, o fluxo elétrico é E cdot 4pi r^2 e a carga encerrada q é dada pela mesma integração da densidade de carga, mas de 0 a r:
q = integral0^r rho , dV = integral0^r A r^2 cdot 4pi r^2 dr = 4pi A integral0^r r^4 dr = 4pi A r^55

Passo 5

Aplicando a lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = qepsilon0 = 4pi A r^55 epsilon0
Agora, vamos isolar E:
E = 4pi A r^55 epsilon0 cdot 4pi r^2 = A r^35 epsilon0

Resposta

Portanto, o campo elétrico dentro da esfera para r < R é dado por:
E = A r^35 epsilon0

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