Uma linha de transmissão sem perdas de 60 Omega é conectada a um gerador, que tem Vg= 10 ang<= 0^circ Vr m s e Zg=60-j 40 Omega e é terminada por uma carga de j 40 Omega. Se a linha tem um comprimento de 100 metros e beta=0,25 rad / m, calcule a impedância de entrada e a tensão: Na extremidade de recepção;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de linhas de transmissão, que é uma parte da eletrônica e telecomunicações. O que precisamos fazer aqui é calcular a impedância de entrada e a tensão na extremidade de recepção de uma linha de transmissão sem perdas. Para isso, vamos usar conceitos de impedância, transformação de impedância em linhas de transmissão e entender como a onda eletromagnética se propaga pela linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Linha de transmissão sem perdas com impedância característica $ Z_0 = 60 , \Omega $.
  • Gerador com tensão $ V_g = 10 \angle 0^{\circ} , V_{rms} $ e impedância interna $ Z_g = 60 - j40 , \Omega $.
  • Carga de $ Z_L = j40 , \Omega $.
  • Comprimento da linha $ l = 100 , m $.
  • Constante de propagação $ \beta = 0,25 , rad/m $.
Nosso objetivo é encontrar a impedância de entrada $ Z_{in} $ e a tensão na extremidade de recepção $ V_{recepção} $.

Passo 3

Para encontrar a impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas, usamos a fórmula:
Zin = Z0 cdot ZL + j Z0 tan(beta l)Z0 + j ZL tan(beta l)
Vamos calcular $ \beta l $:
beta l
Agora, calculamos $ \tan(\beta l) $:
beta l = 0,25 , rad/m times 100 , m = 25 , rad
(Observação: O valor de 25 radianos ultrapassa $ 2\pi $, então a tangente se repete periodicamente. Usamos o valor modulo $ 2\pi $ para facilitar.)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da impedância de entrada:
Zin = 60 cdot j40 + j60 times (-0,132)60 + j40 times (-0,132)
Primeiro, simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
j40 + j60 times (-0,132) = j40 - j7,92 = j32,08
Denominador:
60 + j40 times (-0,132) = 60 - j5,28
Então:
Zin = 60 cdot j32,0860 - j5,28

Passo 5

Para simplificar a expressão, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Conjugado de $ 60 - j5,28 $ é $ 60 + j5,28 $.
60 - j5,28
Calculando o denominador:
60 + j5,28
Calculando o numerador:
Zin = 60 cdot j32,08 times (60 + j5,28)(60 - j5,28)(60 + j5,28)
(60)^2 + (5,28)^2 = 3600 + 27,8784 = 3627,8784
j32,08 times 60 = j1.924,8
Então:
j32,08 times j5,28 = -32,08 times 5,28 = -169,46

Passo 6

Dividindo cada parte do numerador pelo denominador:
Parte real:
-169,463627,8784 approx -0,0467 , Omega
Parte imaginária:
1.924,83627,8784 approx 0,5305 , Omega
Então:
Zin = 60 times (-0,0467 + j0,5305) approx -2,802 + j31,83 , Omega

Passo 7

Agora, para encontrar a tensão na extremidade de recepção ($ V_{recepção} $), usamos a relação da tensão em uma linha de transmissão:
Vrecepção çã
Substituindo os valores:
Vrecepção = Vg cdot ZLZL + Zg çã
Simplificando o denominador:
Vrecepção = 10 ang<= 0^circ cdot j40j40 + (60 - j40)
Então:
j40 + 60 - j40 = 60 , Omega çã
Isso significa que a tensão na extremidade de recepção tem uma magnitude de aproximadamente 6,666 V com um ângulo de $ 90^{\circ} $ (já que está representada como $ j $).

Resposta

A impedância de entrada da linha de transmissão é aproximadamente $ Z_{in} = -2,80 + j31,83 , \Omega $ e a tensão na extremidade de recepção é $ V_{recepção} \approx 6,67 , V $ com fase de $ 90^{\circ} $.

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