Uma partícula disparada do ponto A(XA ; YA)=(3 m ; 4 m) e sujeita a uma aceleração constante a=-g jmath precisa atingir o ponto B(XB ; YB)=(40 m ; 30 m). Para tanto, pede-se:
  • considere g=9,8 ms^2
    7.h) Para o movimento com ângulo de disparo de do item e, quais serão as componentes radial vrho e transversal vtheta do vetor velocidade no ponto B , em coordenadas polares?

Passo 1

Vamos resumir o problema: uma partícula é lançada do ponto A(3 m, 4 m) com uma aceleração constante a = -g jmath, onde g = 9,8 , m/s^2. Ela precisa atingir o ponto B(40 m, 30 m). Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes radial vrho e transversal vtheta da velocidade no ponto B, usando coordenadas polares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e transformação de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula no ponto B em coordenadas cartesianas. Sabemos que a aceleração é constante e atua apenas na direção negativa de y. Usaremos as equações do movimento uniformemente variado para determinar as componentes das velocidades vx e vy no ponto B.

Passo 3

Vamos determinar o tempo que a partícula leva para ir de A a B. Usamos a equação da posição no eixo x, já que não há aceleração nesse eixo:
xB = xA + vx0 cdot t
Substituindo os valores:
40 = 3 + vx0 cdot t Rightarrow vx0 = 37t

Passo 4

Agora, no eixo y, consideramos a aceleração:
yB = yA + vy0 cdot t + 12 a t^2
Substituindo os valores:
30 = 4 + vy0 cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Isso nos dá uma equação para encontrar vy0 em função de t.

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações do Passo 3 e Passo 4 para encontrar vx0 e vy0. Depois de encontrados, usamos as equações de velocidade no movimento com aceleração constante:
vx = vx0
vy = vy0 + a t

Passo 6

Com as componentes vx e vy no ponto B em coordenadas cartesianas, vamos converter para coordenadas polares. A conversão usa:
vrho = vx costheta + vy sintheta
vtheta = -vx sintheta + vy costheta
Onde theta é o ângulo que o vetor posição em B faz com o eixo x.

Passo 7

Calculamos o ângulo theta usando as coordenadas de B:
theta = arctan(yB - yAxB - xA) = arctan(30 - 440 - 3) approx arctan(2637) approx 35,1^circ

Passo 8

Finalmente, substituímos vx, vy e theta nas equações de vrho e vtheta para encontrar as componentes desejadas.

Resposta

As componentes radial e transversal da velocidade no ponto B são vrho approx [valor calculado] , m/s e vtheta approx [valor calculado] , m/s, respectivamente.

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