1. (2,0 pts) - Um objeto de 1,0 kg está sofrendo oscilações harmônicas amortecidas. Se o deslocamento máximo do objeto de seu ponto de equilíbrio cai para 1 / 10 de seu valor original em 0,76 s. (a) Qual é o valor da constante de amortecimento b ? (b) Se ofator de qualidade ell Q=2, determine a frequência angular.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre oscilações harmônicas amortecidas. O enunciado nos diz que temos um objeto de 1,0 kg que está oscindo e que o deslocamento máximo dele cai para 1/10 do valor original em 0,76 segundos. Vamos precisar usar conceitos de amortecimento e frequência angular para resolver as partes (a) e (b) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a constante de amortecimento A(t) = A0 , e^-b2m t . Em oscilações amortecidas, a amplitude do movimento diminui exponencialmente com o tempo, seguindo a fórmula:
Aqui, é a amplitude inicial, é a constante de amortecimento, é a massa, e é o tempo.

Passo 3

Sabemos que após 0,76 segundos, a amplitude cai para 1/10 da amplitude original:
A(t)A0 = 110 = e^-b2m t
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para ln(110) = -b2m t :

Passo 4

Agora, isolamos b = -2m ln(110)t :
b = -2 times 1,0 times ln(110)0,76
Vamos substituir os valores que temos: e :

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
Sabemos que b = -2 times 1,0 times (-2,3026)0,76 = 4,60520,76 approx 6,062 , kg/s , então:

Passo 6

Agora, para a parte (b): queremos encontrar a frequência angular Q = m omegab sabendo que o fator de qualidade omega = Q bm . O fator de qualidade está relacionado com a massa, a constante de amortecimento e a frequência angular pela fórmula:
Vamos resolver para :

Passo 7

Substituindo os valores que já encontramos: omega = 2 times 6,0621,0 = 12,124 , rad/s , e :

Resposta

(a) A constante de amortecimento é aproximadamente 6,06 kg/s.
(b) A frequência angular é aproximadamente 12,12 rad/s.

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