- (2,0 pts) - Um objeto de
está sofrendo oscilações harmônicas amortecidas. Se o deslocamento máximo do objeto de seu ponto de equilíbrio cai para
de seu valor original em
. (a) Qual é o valor da constante de amortecimento
? (b) Se ofator de qualidade
, determine a frequência angular.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre oscilações harmônicas amortecidas. O enunciado nos diz que temos um objeto de 1,0 kg que está oscindo e que o deslocamento máximo dele cai para 1/10 do valor original em 0,76 segundos. Vamos precisar usar conceitos de amortecimento e frequência angular para resolver as partes (a) e (b) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a constante de amortecimento
. Em oscilações amortecidas, a amplitude
do movimento diminui exponencialmente com o tempo, seguindo a fórmula:
Aqui,
é a amplitude inicial,
é a constante de amortecimento,
é a massa, e
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que após 0,76 segundos, a amplitude cai para 1/10 da amplitude original:
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Vamos substituir os valores que temos:
e
:
Passo 5
Calculando os valores numéricos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, para a parte (b): queremos encontrar a frequência angular
sabendo que o fator de qualidade
. O fator de qualidade está relacionado com a massa, a constante de amortecimento e a frequência angular pela fórmula:
Vamos resolver para
:
Passo 7
Substituindo os valores que já encontramos:
,
e
:
Resposta
(a) A constante de amortecimento
é aproximadamente 6,06 kg/s.
(b) A frequência angular
é aproximadamente 12,12 rad/s.
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