1. (2,0 pts) - Um objeto de está sofrendo oscilações harmônicas amortecidas. Se o deslocamento máximo do objeto de seu ponto de equilíbrio cai para de seu valor original em . (a) Qual é o valor da constante de amortecimento ? (b) Se ofator de qualidade , determine a frequência angular.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre oscilações harmônicas amortecidas. O enunciado nos diz que temos um objeto de 1,0 kg que está oscindo e que o deslocamento máximo dele cai para 1/10 do valor original em 0,76 segundos. Vamos precisar usar conceitos de amortecimento e frequência angular para resolver as partes (a) e (b) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a constante de amortecimento . Em oscilações amortecidas, a amplitude do movimento diminui exponencialmente com o tempo, seguindo a fórmula:
Aqui, é a amplitude inicial, é a constante de amortecimento, é a massa, e é o tempo.

Passo 3

Sabemos que após 0,76 segundos, a amplitude cai para 1/10 da amplitude original:
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para :

Passo 4

Agora, isolamos :
Vamos substituir os valores que temos: e :

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, para a parte (b): queremos encontrar a frequência angular sabendo que o fator de qualidade . O fator de qualidade está relacionado com a massa, a constante de amortecimento e a frequência angular pela fórmula:
Vamos resolver para :

Passo 7

Substituindo os valores que já encontramos: , e :

Resposta

(a) A constante de amortecimento é aproximadamente 6,06 kg/s.
(b) A frequência angular é aproximadamente 12,12 rad/s.

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