Uma esfera de massa 250 g está presa a um mastro vertical através de um fio de
de comprimento descreve um movimento circular no plano horizontal, em torno do mastro. Supondo que o fio esteja preso no centro da esfera, e que o ângulo entre o fio e a vertical é de
, calcule: b) a velocidade da esfera em torno do mastro;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera de 250 gramas presa a um mastro por um fio de 1,2 metros. Ela está fazendo um movimento circular no plano horizontal, formando um ângulo de 20° com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dessa esfera enquanto ela gira em torno do mastro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, força centrípeta e um pouco de trigonometria para decompor as forças envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa da esfera de gramas para quilogramas, já que as unidades padrão de massa no SI são em quilogramas. Então:
Passo 3
Agora, vamos identificar as forças que atuam na esfera. Há duas forças principais:
-
Peso (força gravitacional): Puxa a esfera para baixo e é calculada por
, onde é a aceleração da gravidade ( ). -
Tensão no fio: Essa força tem duas componentes porque o fio está inclinado. Vamos decompor a tensão em duas partes:
- Tensão vertical (
): Equilibra o peso da esfera. - Tensão horizontal (
): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
- Tensão vertical (
Passo 4
Vamos calcular o peso da esfera:
Passo 5
Agora, vamos relacionar as componentes da tensão com o ângulo de 20°. Usamos trigonometria para isso:
Onde
.
Sabemos que a esfera está em equilíbrio vertical, então
. Assim:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Passo 7
Agora, a componente horizontal da tensão
é responsável pela força centrípeta
, que mantém a esfera em movimento circular. A fórmula para a força centrípeta é:
Onde:
-
é a velocidade que queremos encontrar. -
é o raio do movimento circular. Como o fio faz um ângulo de 20° com a vertical, usamos trigonometria para encontrar :
Passo 8
Sabemos que
, então:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando
:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Passo 10
Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade da esfera em torno do mastro é aproximadamente 1,21 metros por segundo.