Uma esfera de massa 250 g está presa a um mastro vertical através de um fio de 1,2 m de comprimento descreve um movimento circular no plano horizontal, em torno do mastro. Supondo que o fio esteja preso no centro da esfera, e que o ângulo entre o fio e a vertical é de 20^circ, calcule: b) a velocidade da esfera em torno do mastro;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera de 250 gramas presa a um mastro por um fio de 1,2 metros. Ela está fazendo um movimento circular no plano horizontal, formando um ângulo de 20° com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dessa esfera enquanto ela gira em torno do mastro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, força centrípeta e um pouco de trigonometria para decompor as forças envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa da esfera de gramas para quilogramas, já que as unidades padrão de massa no SI são em quilogramas. Então:
m = 250 , g = 0,250 , kg

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças que atuam na esfera. Há duas forças principais:
  1. Peso (força gravitacional): Puxa a esfera para baixo e é calculada por , onde é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Tensão no fio: Essa força tem duas componentes porque o fio está inclinado. Vamos decompor a tensão em duas partes:
    • Tensão vertical ( ): Equilibra o peso da esfera.
    • Tensão horizontal ( ): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 4

Vamos calcular o peso da esfera:
P = m cdot g = 0,250 , kg times 9,81 , m/s^2 = 2,4525 , N

Passo 5

Agora, vamos relacionar as componentes da tensão com o ângulo de 20°. Usamos trigonometria para isso:
Ty = T cdot cos(theta) Tx = T cdot sin(theta)
Onde T cdot cos(20°) = 2,4525 , N .
Sabemos que a esfera está em equilíbrio vertical, então . Assim:

Passo 6

Vamos resolver para T = 2,4525 , Ncos(20°) approx 2,45250,9397 approx 2,610 , N :

Passo 7

Agora, a componente horizontal da tensão Fc = m cdot v^2r é responsável pela força centrípeta r = L cdot sin(theta) = 1,2 , m times sin(20°) approx 1,2 times 0,3420 approx 0,4104 , m , que mantém a esfera em movimento circular. A fórmula para a força centrípeta é:
Onde:
  • é a velocidade que queremos encontrar.
  • é o raio do movimento circular. Como o fio faz um ângulo de 20° com a vertical, usamos trigonometria para encontrar :

Passo 8

Sabemos que T cdot sin(20°) = m cdot v^2r , então:
2,610 , N times sin(20°) = 0,250 , kg times v^20,4104 , m
Substituindo os valores conhecidos:
2,610 times 0,3420 approx 0,892 , N
Calculando :

Passo 9

Agora, isolamos 0,892 , N = 0,250 , kg times v^20,4104 , m 0,892 times 0,4104 = 0,250 times v^2 0,366 approx 0,250 times v^2 v^2 approx 0,3660,250 approx 1,464 :

Passo 10

Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar v approx raiz1,464 approx 1,21 , m/s :

Resposta

A velocidade da esfera em torno do mastro é aproximadamente 1,21 metros por segundo.

Exercícios relacionados