Uma esfera de massa 250 g está presa a um mastro vertical através de um fio de de comprimento descreve um movimento circular no plano horizontal, em torno do mastro. Supondo que o fio esteja preso no centro da esfera, e que o ângulo entre o fio e a vertical é de , calcule: b) a velocidade da esfera em torno do mastro;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera de 250 gramas presa a um mastro por um fio de 1,2 metros. Ela está fazendo um movimento circular no plano horizontal, formando um ângulo de 20° com a vertical. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dessa esfera enquanto ela gira em torno do mastro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, força centrípeta e um pouco de trigonometria para decompor as forças envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa da esfera de gramas para quilogramas, já que as unidades padrão de massa no SI são em quilogramas. Então:

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças que atuam na esfera. Há duas forças principais:
  1. Peso (força gravitacional): Puxa a esfera para baixo e é calculada por , onde é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Tensão no fio: Essa força tem duas componentes porque o fio está inclinado. Vamos decompor a tensão em duas partes:
    • Tensão vertical ( ): Equilibra o peso da esfera.
    • Tensão horizontal ( ): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 4

Vamos calcular o peso da esfera:

Passo 5

Agora, vamos relacionar as componentes da tensão com o ângulo de 20°. Usamos trigonometria para isso:
Onde .
Sabemos que a esfera está em equilíbrio vertical, então . Assim:

Passo 6

Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, a componente horizontal da tensão é responsável pela força centrípeta , que mantém a esfera em movimento circular. A fórmula para a força centrípeta é:
Onde:
  • é a velocidade que queremos encontrar.
  • é o raio do movimento circular. Como o fio faz um ângulo de 20° com a vertical, usamos trigonometria para encontrar :

Passo 8

Sabemos que , então:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando :

Passo 9

Agora, isolamos :

Passo 10

Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade da esfera em torno do mastro é aproximadamente 1,21 metros por segundo.

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