Uma esfera metálica oca, de diâmetros interno e externo, e , respectivamente, flutua sobre a superfície de um líquido. A densidade do metal é , e a densidade do fluido . Qual o peso que deve ser adicionado dentro da esfera de modo que ela flutue imediatamente abaixo do nível do líquido? Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera metálica oca que está flutuando na superfície de um líquido. Ela tem dois diâmetros: interno ( ) e externo ( ). A densidade do metal é e a do líquido é . O objetivo aqui é descobrir quanto peso precisamos adicionar dentro da esfera para que ela fique mergulhada exatamente abaixo do nível do líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera flutuar imediatamente abaixo do nível do líquido. Isso quer dizer que o volume de líquido deslocado pela esfera deve ser igual ao volume da esfera mais o volume correspondente ao peso que adicionamos. Aqui, estamos lidando com equilíbrio de forças: o peso total da esfera mais o peso adicionado deve ser igual ao peso do líquido deslocado.

Passo 3

Vamos calcular o volume da esfera externa e da esfera interna. A esfera oca tem um volume externo e um volume interno que não está preenchido. O volume de uma esfera é dado pela fórmula:
Onde é o raio da esfera. Como temos diâmetros, o raio é metade do diâmetro. Então:

Passo 4

O volume da esfera metálica (material) é a diferença entre o volume externo e o interno:

Passo 5

Agora, vamos considerar as massas. A massa do metal é a densidade do metal multiplicada pelo volume do metal:
E o peso do metal é a massa multiplicada pela gravidade ( ):

Passo 6

Precisamos adicionar um peso dentro da esfera para que ela fique submersa. O peso total agora será . Esse peso total deve ser igual ao peso do líquido deslocado, que é a densidade do líquido multiplicada pelo volume externo da esfera e pela gravidade:

Passo 7

Vamos isolar na equação:
Distribuindo :
Fatorando :

Resposta

Exercícios relacionados

Estime, sob condições ideais, a separação linear de dois objetos, na superfície do planeta Marte que possam ser resolvidos por um observador na Terra usando (a) a vista desarmada e (b) o telescópio de 5,1 m do Monte Palomar. Use os seguintes dados: distância a Marte ; diâmetro da pupila ; comprimento de onda da luz . Qual é a separação linear usando a vista desarmada?
Na represa de uma usina hidrelétrica a água é descarregada para a turbina a uma profundidade de 20 m . A descarga é de . Calcule a potência fornecida pela água.
Resposta: .
A face vertical de uma barragem, de largura , retém água à altura . Lembrando que a pressão atmosférica atua em todo o meio, encontre:
b) o torque da força devido à pressão manométrica da água, em relação à linha da superfície da água;
Resposta: ;
Um feixe de luz, com comprimento de onda de 600 nm, incide normalmente sobre uma rede de difração. Ocorrem dois máximos adjacentes nos ângulos dados por e sen , respectivamente. Os máximos de quarta ordem não aparecem. Quais são, com os valores calculados em (a) e em (b), as ordens dos máximos de intensidade produzidos pela rede? E as suas intensidades relativas?