Uma esfera metálica oca, de diâmetros interno e externo,
e
, respectivamente, flutua sobre a superfície de um líquido. A densidade do metal é
, e a densidade do fluido
. Qual o peso
que deve ser adicionado dentro da esfera de modo que ela flutue imediatamente abaixo do nível do líquido? Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera metálica oca que está flutuando na superfície de um líquido. Ela tem dois diâmetros: interno (
) e externo (
). A densidade do metal é
e a do líquido é
. O objetivo aqui é descobrir quanto peso
precisamos adicionar dentro da esfera para que ela fique mergulhada exatamente abaixo do nível do líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a esfera flutuar imediatamente abaixo do nível do líquido. Isso quer dizer que o volume de líquido deslocado pela esfera deve ser igual ao volume da esfera mais o volume correspondente ao peso que adicionamos. Aqui, estamos lidando com equilíbrio de forças: o peso total da esfera mais o peso adicionado deve ser igual ao peso do líquido deslocado.
Passo 3
Vamos calcular o volume da esfera externa e da esfera interna. A esfera oca tem um volume externo e um volume interno que não está preenchido. O volume de uma esfera é dado pela fórmula:
Onde
é o raio da esfera. Como temos diâmetros, o raio é metade do diâmetro. Então:
Passo 4
O volume da esfera metálica (material) é a diferença entre o volume externo e o interno:
Passo 5
Agora, vamos considerar as massas. A massa do metal é a densidade do metal multiplicada pelo volume do metal:
E o peso do metal é a massa multiplicada pela gravidade (
):
Passo 6
Precisamos adicionar um peso
dentro da esfera para que ela fique submersa. O peso total agora será
. Esse peso total deve ser igual ao peso do líquido deslocado, que é a densidade do líquido multiplicada pelo volume externo da esfera e pela gravidade:
Passo 7
Vamos isolar
na equação:
Distribuindo
:
Fatorando
: