Uma esfera metálica oca, de diâmetros interno e externo, d1 e d2, respectivamente, flutua sobre a superfície de um líquido. A densidade do metal é de, e a densidade do fluido de. Qual o peso P que deve ser adicionado dentro da esfera de modo que ela flutue imediatamente abaixo do nível do líquido? Resposta: P=(pi g / 6)[d2 ^3(de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera metálica oca que está flutuando na superfície de um líquido. Ela tem dois diâmetros: interno ( d1) e externo ( d2). A densidade do metal é de e a do líquido é de. O objetivo aqui é descobrir quanto peso P precisamos adicionar dentro da esfera para que ela fique mergulhada exatamente abaixo do nível do líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera flutuar imediatamente abaixo do nível do líquido. Isso quer dizer que o volume de líquido deslocado pela esfera deve ser igual ao volume da esfera mais o volume correspondente ao peso que adicionamos. Aqui, estamos lidando com equilíbrio de forças: o peso total da esfera mais o peso adicionado deve ser igual ao peso do líquido deslocado.

Passo 3

Vamos calcular o volume da esfera externa e da esfera interna. A esfera oca tem um volume externo e um volume interno que não está preenchido. O volume de uma esfera é dado pela fórmula:
V = 43pi r^3
Onde r é o raio da esfera. Como temos diâmetros, o raio é metade do diâmetro. Então:
Vexterno = 43pi (d22)^3 = pi d2^36
Vinterno = 43pi (d12)^3 = pi d1^36

Passo 4

O volume da esfera metálica (material) é a diferença entre o volume externo e o interno:
Vmetal = Vexterno - Vinterno = pi d2^36 - pi d1^36 = pi6(d2^3 - d1^3)

Passo 5

Agora, vamos considerar as massas. A massa do metal é a densidade do metal multiplicada pelo volume do metal:
mmetal = de
E o peso do metal é a massa multiplicada pela gravidade ( g):
Pmetal = mmetal times g = de

Passo 6

Precisamos adicionar um peso P dentro da esfera para que ela fique submersa. O peso total agora será Pmetal + P. Esse peso total deve ser igual ao peso do líquido deslocado, que é a densidade do líquido multiplicada pelo volume externo da esfera e pela gravidade:
Ptotal = de

Passo 7

Vamos isolar P na equação:
P = de
Distribuindo de:
P = pi g6 [de
Fatorando d2^3:
P = pi g6 [d2^3 (de

Resposta

P = (pi g6)[d2^3 (de

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