Uma esfera metálica de raio
está carregada com uma carga de
que se espalha uniformemente sobre a superfície da esfera. A esfera metálica está em um suporte isolante e é cercada por uma casca esférica metálica maior, de raio interno de
e raio externo de
. Agora, uma carga de
é colocada no interior da casca esférica, que se espalha uniformemente na superfície interna da casca. Se o potencial é zero no infinito, qual é o potencial eletrostático: (a) no interior da casca esférica;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma esfera metálica menor com raio de 2,0 cm carregada com +5,0 μC espalhados uniformemente na superfície. Ela está cercada por uma casca esférica metálica maior, com raio interno de 5,0 cm e externo de 6,0 cm. Além disso, foi colocado uma carga de -5,0 μC na superfície interna dessa casca. A pergunta é: qual é o potencial eletrostático no interior da casca esférica?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre cargas em condutores e potenciais elétricos em diferentes regiões de um sistema esférico carregado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, as cargas livres se distribuem na superfície do condutor de forma que o campo elétrico dentro do material condutor seja zero. Isso significa que qualquer carga dentro de um condutor induz uma carga oposta na superfície interna desse condutor.
Passo 3
No nosso caso, temos uma carga de +5,0 μC na esfera interna. A casca metálica tem uma carga de -5,0 μC na superfície interna. De acordo com o princípio que mencionei, a carga na superfície interna da casca deve ser igual e oposta à carga total dentro dela, que é +5,0 μC. Portanto, a carga de -5,0 μC na superfície interna está equilibrando a carga da esfera interna.
Passo 4
Agora, a casca metálica é neutra no total (não foi mencionada nenhuma carga adicional na casca além dos -5,0 μC na superfície interna). Portanto, a carga na superfície externa da casca deve ser igual e oposta à carga na superfície interna para manter a neutralidade. Assim, a superfície externa da casca terá uma carga de +5,0 μC.
Passo 5
Com isso, podemos determinar o potencial eletrostático em diferentes regiões. Queremos encontrar o potencial no interior da casca esférica, ou seja, na região entre 5,0 cm e 6,0 cm do centro.
Passo 6
Para encontrar o potencial nessa região, podemos usar a expressão do potencial devido a uma carga pontual ou a uma esfera carregada. O potencial devido a uma esfera carregada a uma distância r do centro é dado por:
onde $ Q $ é a carga total e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 7
Na região entre 5,0 cm e 6,0 cm, a única carga que contribui para o potencial é a carga total dentro dessa superfície, que é a soma das cargas da esfera interna e da carga induzida na superfície interna da casca.
Então, a carga total dentro dessa região é:
Passo 8
Com uma carga total de zero dentro dessa região, o potencial $ V® $ é:
Resposta
O potencial eletrostático no interior da casca esférica é zero.