Uma esfera não condutora oca de raio interno
e raio externo
, possui uma densidade volumétrica de carga dada por
, onde
é uma constante qualquer e
é a distância ao centro. Usando a lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico (a) no interior da esfera; (b) no exterior da esfera. © Responda aos itens (a) e (b) novamente, considerando agora que a esfera é condutora.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca não condutora com raio interno
e raio externo
. A densidade de carga é
, onde
é uma constante e
é a distância do centro. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o módulo do campo elétrico:
(a) No interior da esfera;
(b) No exterior da esfera.
Depois, vamos refazer os itens considerando que a esfera é condutora.
(a) No interior da esfera;
(b) No exterior da esfera.
Depois, vamos refazer os itens considerando que a esfera é condutora.
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície gaussiana. Também vamos precisar lembrar como a simetria esférica facilita a aplicação dessa lei.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
Isso significa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
.
Como a esfera é simétrica, vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
.
Passo 3
Vamos considerar o caso (a): campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para
.
Dentro dessa região, a esfera oca não tem carga. Então, a carga total dentro da superfície gaussiana é zero.
Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, para o item (b): campo elétrico no exterior da esfera, ou seja, para
.
Precisamos calcular a carga total
na esfera. A densidade de carga é
.
A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Integrando:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss com
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, para o item ©, vamos considerar que a esfera é condutora.
Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático:
- O campo elétrico dentro do material condutor é zero.
- Toda a carga está na superfície externa.
Então, para
:
Para
, a carga total é
, mas agora como toda a carga está na superfície externa, o campo é o mesmo que no caso não condutor para
:
Resposta
(a) Para
,
.
(b) Para
,
.
© Se a esfera for condutora:
- Para
, ; - Para
, .