Uma esfera não condutora oca de raio interno a e raio externo R, possui uma densidade volumétrica de carga dada por rho=b r, onde b é uma constante qualquer e r é a distância ao centro. Usando a lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico (a) no interior da esfera; (b) no exterior da esfera. © Responda aos itens (a) e (b) novamente, considerando agora que a esfera é condutora.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca não condutora com raio interno e raio externo . A densidade de carga é , onde é uma constante e é a distância do centro. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o módulo do campo elétrico:
(a) No interior da esfera;
(b) No exterior da esfera.
Depois, vamos refazer os itens considerando que a esfera é condutora.
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga elétrica dentro de uma superfície gaussiana. Também vamos precisar lembrar como a simetria esférica facilita a aplicação dessa lei.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Isso significa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante .
Como a esfera é simétrica, vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio .

Passo 3

Vamos considerar o caso (a): campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2 = 0varepsilon0 .
Dentro dessa região, a esfera oca não tem carga. Então, a carga total dentro da superfície gaussiana é zero.
Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto, .

Passo 4

Agora, para o item (b): campo elétrico no exterior da esfera, ou seja, para Q = integrala^R rho cdot 4pi r^2 dr = integrala^R b r cdot 4pi r^2 dr = 4pi b integrala^R r^3 dr .
Precisamos calcular a carga total Q = 4pi b [ r^44 ]a^R = pi b (R^4 - a^4) na esfera. A densidade de carga é E(r) cdot 4pi r^2 = pi b (R^4 - a^4)varepsilon0 .
A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
E(r) = b (R^4 - a^4)4 varepsilon0 r^2
Integrando:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss com :
Isolando :

Passo 5

Agora, para o item ©, vamos considerar que a esfera é condutora.
Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático:
  • O campo elétrico dentro do material condutor é zero.
  • Toda a carga está na superfície externa.
Então, para E(r) = 0 :
E(r) = b (R^4 - a^4)4 varepsilon0 r^2
Para , a carga total é , mas agora como toda a carga está na superfície externa, o campo é o mesmo que no caso não condutor para :

Resposta

(a) Para , .
(b) Para , .
© Se a esfera for condutora:
  • Para , ;
  • Para , .

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