Uma onda senoidal transversal é gerada em uma das extremidades de uma longa corda horizontal através de uma barra, cuja extremidade é movimentada para cima e para baixo dentro de um percurso de 1,30 cm. O movimento é contínuo e repetido regularmente 125 vezes por segundo.
Admitindo-se que a onda se mova no sentido positivo de x e que, em t=0, o elemento da corda em x=0 está na posição de equilíbrio y=0 e se movendo para baixo, encontre a equação da onda.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma onda senoidal transversal que se propaga em uma corda horizontal. A extremidade da corda está sendo movimentada para cima e para baixo com um percurso de 1,30 cm e essa movimentação acontece 125 vezes por segundo. Nosso objetivo é encontrar a equação da onda que descreve esse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas senoidais, amplitude, frequência, e a forma geral da equação de uma onda.

Passo 2

Vamos começar identificando a amplitude da onda. A amplitude (A) é a máxima deslocação da posição de equilíbrio. Como a corda se move dentro de um percurso de 1,30 cm, a amplitude será metade desse valor:
A = 1,30 , cm2 = 0,65 , cm

Passo 3

Em seguida, determinamos a frequência (f) da ondulação, que é dada no enunciado como 125 vezes por segundo. A frequência angular ( omega = 2pi f ) está relacionada à frequência pela fórmula:
omega = 2pi times 125 , rad/s = 250pi , rad/s
Substituindo os valores:

Passo 4

Precisamos também do número de onda (k), que está relacionado ao comprimento de onda ( k = 2pilambda ) pela fórmula:
No entanto, o exercício não nos fornece o comprimento de onda diretamente. Como não temos essa informação, vamos deixar a equação em termos de .

Passo 5

Agora, vamos montar a equação da onda. A forma geral de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi) é:
Onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.

Passo 6

O enunciado nos dá uma condição inicial: em y(0, 0) = 0 , partial ypartial t < 0 em t=0 , y(x, t) = A sin(kx - omega t) e a partícula está se movendo para baixo. Isso significa que a fase inicial deve ser tal que:
A solução que atende a essas condições é . Assim, a equação simplifica para:

Resposta

A equação da onda é:
y(x, t) = 0,65 , cm cdot sin(kx - 250pi , t)

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(b) umax é sempre igual a v.
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