Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga proporcional à distância até o centro:
para
, onde
é um constante e
para
. (b) Encontre o campo eletrico dentro e fora da distribuição de carga e esboçe
versus
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera não condutora com raio
onde a densidade de carga
varia conforme a distância ao centro:
para
e
para
. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico
tanto dentro quanto fora dessa esfera e desenhar um gráfico de
em função de
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para
.
A Lei de Gauss nos diz que:
Como a esfera é simétrica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, a integral simplifica para:
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro de um raio
. A densidade de carga é
, então:
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta na equação do campo elétrico:
Então, dentro da esfera:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, para
.
Novamente, usando a Lei de Gauss:
Aqui,
é a carga total da esfera. Já sabemos que a densidade é
para
, então:
Substituindo na equação do campo elétrico:
Então, fora da esfera:
Resposta
Dentro da esfera (
):
Fora da esfera (
):
E o gráfico de
versus
mostra o campo elétrico aumentando com
dentro da esfera e caindo proporcionalmente a
fora dela.
Exercícios relacionados
Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga de volume
, onde
é um constante. (a) Mostre que a carga total é
; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio
é
. © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em todo espaço. (d) Encontre o potencial
todos os lugares, assumindo que
. (Lembre-se de que
é contínuo em
.)
Use o resultado obtido no Problema 5 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Considere duas esferas condutoras concêntricas (Fig. 1). A esfera externa é oca e inicialmente tem uma carga
depositada nela. A esfera interior é sólida e tem uma carga
. © Suponha voltamos às condições originais em (a), com
na esfera interna e
na externa. Agora conectamos a esfera externa ao terra com um fio e depois a desconectamos. Quanto carga total estará na esfera externa? Quanta carga será na superfície interna da esfera externa e quanto estará na superficie externa?
Fig. 1
Fig. 1
Sabendo que a leitura no voltímetro é igual a 7.5 Volts. Determine :
a) A resistência do resistor em paralelo com o voltímetro.
a) A resistência do resistor em paralelo com o voltímetro.