Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga proporcional à distância até o centro:
para
, onde
é um constante e
para
. (b) Encontre o campo eletrico dentro e fora da distribuição de carga e esboçe
versus
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera não condutora com raio
onde a densidade de carga
varia conforme a distância ao centro:
para
e
para
. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico
tanto dentro quanto fora dessa esfera e desenhar um gráfico de
em função de
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para
.
A Lei de Gauss nos diz que:
Como a esfera é simétrica, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, a integral simplifica para:
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro de um raio
. A densidade de carga é
, então:
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta na equação do campo elétrico:
Então, dentro da esfera:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, para
.
Novamente, usando a Lei de Gauss:
Aqui,
é a carga total da esfera. Já sabemos que a densidade é
para
, então:
Substituindo na equação do campo elétrico:
Então, fora da esfera:
Resposta
Dentro da esfera (
):
Fora da esfera (
):
E o gráfico de
versus
mostra o campo elétrico aumentando com
dentro da esfera e caindo proporcionalmente a
fora dela.