Uma esfera não condutora de raio possui uma densidade de carga proporcional à distância até o centro: para , onde é um constante e para . (b) Encontre o campo eletrico dentro e fora da distribuição de carga e esboçe versus .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera não condutora com raio onde a densidade de carga varia conforme a distância ao centro: para e para . Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa esfera e desenhar um gráfico de em função de . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para .
A Lei de Gauss nos diz que:
Como a esfera é simétrica, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, a integral simplifica para:
Agora, precisamos encontrar a carga total dentro de um raio . A densidade de carga é , então:
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta na equação do campo elétrico:
Então, dentro da esfera:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, para .
Novamente, usando a Lei de Gauss:
Aqui, é a carga total da esfera. Já sabemos que a densidade é para , então:
Substituindo na equação do campo elétrico:
Então, fora da esfera:

Resposta

Dentro da esfera ( ):
Fora da esfera ( ):
E o gráfico de versus mostra o campo elétrico aumentando com dentro da esfera e caindo proporcionalmente a fora dela.

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Uma esfera não condutora de raio possui uma densidade de carga de volume , onde é um constante. (a) Mostre que a carga total é ; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio é . © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em todo espaço. (d) Encontre o potencial todos os lugares, assumindo que . (Lembre-se de que é contínuo em .)
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