Uma esfera não condutora de raio R possui uma densidade de carga proporcional à distância até o centro: rho(r)=A r para r <= R, onde A é um constante e rho=0 para r>R. (b) Encontre o campo eletrico dentro e fora da distribuição de carga e esboçe E versus r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera não condutora com raio onde a densidade de carga varia conforme a distância ao centro: para e para . Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico tanto dentro quanto fora dessa esfera e desenhar um gráfico de em função de . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 .
A Lei de Gauss nos diz que:
E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
Como a esfera é simétrica, o campo elétrico Qenc = integral0^r rho(r') 4pi r'^2 dr' = integral0^r A r' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integral0^r r'^3 dr' tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, a integral simplifica para:
Qenc = 4pi A [ r'^44 ]0^r = pi A r^4
Agora, precisamos encontrar a carga total E cdot 4pi r^2 = pi A r^4varepsilon0 implies E = A r^24 varepsilon0 dentro de um raio Edentro(r) = A r^24 varepsilon0 . A densidade de carga é , então:
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta na equação do campo elétrico:
Então, dentro da esfera:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera, para E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 .
Novamente, usando a Lei de Gauss:
Qtotal = integral0^R A r' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integral0^R r'^3 dr' = 4pi A [ r'^44 ]0^R = pi A R^4
Aqui, E cdot 4pi r^2 = pi A R^4varepsilon0 implies E = A R^44 varepsilon0 r^2 é a carga total da esfera. Já sabemos que a densidade é Efora(r) = A R^44 varepsilon0 r^2 para , então:
Substituindo na equação do campo elétrico:
Então, fora da esfera:

Resposta

Dentro da esfera ( E(r) = A r^24 varepsilon0 ):
E(r) = A R^44 varepsilon0 r^2
Fora da esfera ( ):
E o gráfico de versus mostra o campo elétrico aumentando com dentro da esfera e caindo proporcionalmente a fora dela.

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