Uma esfera não condutora de raio possui uma densidade de carga de volume , onde é um constante. (a) Mostre que a carga total é ; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio é . © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em todo espaço. (d) Encontre o potencial todos os lugares, assumindo que . (Lembre-se de que é contínuo em .)

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática envolvendo uma esfera não condutora com uma densidade de carga que varia com a distância ao centro. A matéria que vamos usar inclui conceitos de densidade de carga, integração sobre volumes e a Lei de Gauss. Vamos precisar calcular a carga total, a carga dentro de uma esfera de raio menor, o campo elétrico usando a Lei de Gauss e finalmente o potencial elétrico em todo o espaço.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a carga total .
Primeiro, precisamos integrar a densidade de carga sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é .
Então, a carga total é:
Integrando de 0 a :
Portanto:

Passo 3

Parte (b): Encontrar a carga dentro de uma esfera de raio .
Similarmente, vamos integrar a densidade de carga até o raio :
Integrando de 0 a :
Portanto:
Mas lembrando que , temos:

Passo 4

Parte ©: Encontrar o campo elétrico usando a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Para uma esfera, o campo elétrico é radial e constante na superfície gaussiana de raio . Então:
Usando a expressão de da parte (b):
Para , toda a carga está dentro, então:

Passo 5

Parte (d): Encontrar o potencial em todos os lugares, com em e continuidade em .
O potencial elétrico é obtido integrando o campo elétrico:
Para :
Para , usamos o campo da parte ©:
Garantindo que seja contínuo em .

Resposta

O potencial elétrico é dado por:

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Fig. 1