Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga de volume
, onde
é um constante. (a) Mostre que a carga total é
; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio
é
. © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em todo espaço. (d) Encontre o potencial
todos os lugares, assumindo que
. (Lembre-se de que
é contínuo em
.)
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática envolvendo uma esfera não condutora com uma densidade de carga que varia com a distância ao centro. A matéria que vamos usar inclui conceitos de densidade de carga, integração sobre volumes e a Lei de Gauss. Vamos precisar calcular a carga total, a carga dentro de uma esfera de raio menor, o campo elétrico usando a Lei de Gauss e finalmente o potencial elétrico em todo o espaço.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a carga total
.
Primeiro, precisamos integrar a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
.
Então, a carga total é:
Integrando
de 0 a
:
Portanto:
Passo 3
Parte (b): Encontrar a carga
dentro de uma esfera de raio
.
Similarmente, vamos integrar a densidade de carga até o raio
:
Integrando
de 0 a
:
Portanto:
Mas lembrando que
, temos:
Passo 4
Parte ©: Encontrar o campo elétrico
usando a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Para uma esfera, o campo elétrico é radial e constante na superfície gaussiana de raio
. Então:
Usando a expressão de
da parte (b):
Para
, toda a carga
está dentro, então:
Passo 5
Parte (d): Encontrar o potencial
em todos os lugares, com
em
e continuidade em
.
O potencial elétrico é obtido integrando o campo elétrico:
Para
:
Para
, usamos o campo da parte ©:
Garantindo que
seja contínuo em
.
Resposta
O potencial elétrico
é dado por:
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Use o resultado obtido no Problema 5 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Use o resultado obtido no Problema 8 para calcular o campo elétrico ao longo do eixo do disco. Em seguida, calcule o campo elétrico por integração direta usando a lei de Coulomb.
Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga proporcional à distância até o centro:
para
, onde
é um constante e
para
. (b) Encontre o campo eletrico dentro e fora da distribuição de carga e esboçe
versus
.
Considere duas esferas condutoras concêntricas (Fig. 1). A esfera externa é oca e inicialmente tem uma carga
depositada nela. A esfera interior é sólida e tem uma carga
. © Suponha voltamos às condições originais em (a), com
na esfera interna e
na externa. Agora conectamos a esfera externa ao terra com um fio e depois a desconectamos. Quanto carga total estará na esfera externa? Quanta carga será na superfície interna da esfera externa e quanto estará na superficie externa?
Fig. 1
Fig. 1