Uma esfera não condutora de raio
possui uma densidade de carga de volume
, onde
é um constante. (a) Mostre que a carga total é
; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio
é
. © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em todo espaço. (d) Encontre o potencial
todos os lugares, assumindo que
. (Lembre-se de que
é contínuo em
.)
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática envolvendo uma esfera não condutora com uma densidade de carga que varia com a distância ao centro. A matéria que vamos usar inclui conceitos de densidade de carga, integração sobre volumes e a Lei de Gauss. Vamos precisar calcular a carga total, a carga dentro de uma esfera de raio menor, o campo elétrico usando a Lei de Gauss e finalmente o potencial elétrico em todo o espaço.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a carga total
.
Primeiro, precisamos integrar a densidade de carga
sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
.
Então, a carga total é:
Integrando
de 0 a
:
Portanto:
Passo 3
Parte (b): Encontrar a carga
dentro de uma esfera de raio
.
Similarmente, vamos integrar a densidade de carga até o raio
:
Integrando
de 0 a
:
Portanto:
Mas lembrando que
, temos:
Passo 4
Parte ©: Encontrar o campo elétrico
usando a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Para uma esfera, o campo elétrico é radial e constante na superfície gaussiana de raio
. Então:
Usando a expressão de
da parte (b):
Para
, toda a carga
está dentro, então:
Passo 5
Parte (d): Encontrar o potencial
em todos os lugares, com
em
e continuidade em
.
O potencial elétrico é obtido integrando o campo elétrico:
Para
:
Para
, usamos o campo da parte ©:
Garantindo que
seja contínuo em
.
Resposta
O potencial elétrico
é dado por: