Uma esfera não condutora de raio R possui uma densidade de carga de volume rho=rho0 r / R, onde rho0 é um constante. (a) Mostre que a carga total é Q=pi R^3 rho0; (b) Mostre que a carga total dentro de uma esfera de raio r é q=Q r^4 / R^4. © Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico Er em todo espaço. (d) Encontre o potencial V em todos os lugares, assumindo que V=0 em r=infty. (Lembre-se de que V é contínuo em r=R.)

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática envolvendo uma esfera não condutora com uma densidade de carga que varia com a distância ao centro. A matéria que vamos usar inclui conceitos de densidade de carga, integração sobre volumes e a Lei de Gauss. Vamos precisar calcular a carga total, a carga dentro de uma esfera de raio menor, o campo elétrico usando a Lei de Gauss e finalmente o potencial elétrico em todo o espaço.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a carga total Q = integral0^R rho , dV = integral0^R rho0 rR cdot 4pi r^2 dr = 4pi rho0 1R integral0^R r^3 dr .
Primeiro, precisamos integrar a densidade de carga integral0^R r^3 dr = R^44 sobre todo o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é Q = 4pi rho0 1R cdot R^44 = pi R^3 rho0 .
Então, a carga total é:
Integrando de 0 a :
Portanto:

Passo 3

Parte (b): Encontrar a carga q = integral0^r rho , dV = integral0^r rho0 r'R cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0 1R integral0^r r'^3 dr' dentro de uma esfera de raio integral0^r r'^3 dr' = r^44 .
Similarmente, vamos integrar a densidade de carga até o raio q = 4pi rho0 1R cdot r^44 = pi rho0 r^4R :
q = Q r^4R^4
Integrando de 0 a :
Portanto:
Mas lembrando que , temos:

Passo 4

Parte ©: Encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = qencvarepsilon0 usando a Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Er cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0
Para uma esfera, o campo elétrico é radial e constante na superfície gaussiana de raio Er = q4pi varepsilon0 r^2 = Q r^44pi varepsilon0 R^4 r^2 = Q r^24pi varepsilon0 R^4 . Então:
Er = Q4pi varepsilon0 r^2
Usando a expressão de da parte (b):
Para , toda a carga está dentro, então:

Passo 5

Parte (d): Encontrar o potencial V(r) = -integralinfty^r Er dr' em todos os lugares, com V(r) = Q4pi varepsilon0 r em V(r) = Q4pi varepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) e continuidade em .
O potencial elétrico é obtido integrando o campo elétrico:
Para :
Para , usamos o campo da parte ©:
Garantindo que seja contínuo em .

Resposta

O potencial elétrico V(r) = Q4pi varepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) & para r < R Q4pi varepsilon0 r & para r >= R é dado por:

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