Uma esfera não condutora de raio
tem uma carga
uniformemente distribuída por seu volume. Tome o potencial elétrico no centro da esfera como sendo
. Determine o potencial elétrico
em função da distância
ao centro da esfera
. Considere os casos dentro e fora da esfera e apresente esse resultado em forma de um gráfico. Por fim compare o resultado obtido aqui com o gráfico da quastão 6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico
em função da distância
do centro de uma esfera não condutora de raio
que tem uma carga
distribuída de forma uniforme por todo o seu volume. Além disso, a gente tem que considerar dois casos: quando
está dentro da esfera (
) e quando está fora dela (
). O conteúdo principal aqui envolve eletrostática, especialmente o conceito de potencial elétrico e como calculá-lo usando a distribuição de carga e a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
devido a uma distribuição de carga pode ser encontrado integrando o campo elétrico
. Para isso, precisamos determinar
tanto dentro quanto fora da esfera.
Passo 3
Vamos começar encontrando o campo elétrico
usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
onde
é a carga dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Para
(dentro da esfera), a carga interna
é proporcional ao volume dentro do raio
. Já que a carga está uniformemente distribuída, temos:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss para
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, para
(fora da esfera), toda a carga
está dentro da superfície gaussiana, então:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com o campo elétrico
determinado, vamos agora calcular o potencial elétrico
. O potencial é obtido integrando o campo elétrico:
Mas como o potencial no centro (
) é zero, precisamos ajustar os limites de integração.
Passo 8
Vamos dividir em dois casos:
Caso 1:
Primeiro, precisamos encontrar
:
Agora, integrando de
a
:
Simplificando:
Caso 2:
Passo 9
Então, resumindo os resultados:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, vamos representar isso em um gráfico. No gráfico, teremos
no eixo vertical e
no eixo horizontal. Para
,
diminui quadraticamente, e para
,
decai proporcionalmente a
.
Passo 11
Por fim, comparando com o gráfico da questão 6 (que não temos aqui), observaríamos que provavelmente há semelhanças na forma geral do decaimento do potencial, mas com diferenças específicas dependendo do contexto da questão 6.
Resposta
O potencial elétrico
em função da distância
é dado por: