Uma esfera não condutora de raio tem uma carga uniformemente distribuída por seu volume. Tome o potencial elétrico no centro da esfera como sendo . Determine o potencial elétrico em função da distância ao centro da esfera . Considere os casos dentro e fora da esfera e apresente esse resultado em forma de um gráfico. Por fim compare o resultado obtido aqui com o gráfico da quastão 6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico em função da distância do centro de uma esfera não condutora de raio que tem uma carga distribuída de forma uniforme por todo o seu volume. Além disso, a gente tem que considerar dois casos: quando está dentro da esfera () e quando está fora dela (). O conteúdo principal aqui envolve eletrostática, especialmente o conceito de potencial elétrico e como calculá-lo usando a distribuição de carga e a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser encontrado integrando o campo elétrico . Para isso, precisamos determinar tanto dentro quanto fora da esfera.
Passo 3
Vamos começar encontrando o campo elétrico usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
onde é a carga dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Para (dentro da esfera), a carga interna é proporcional ao volume dentro do raio . Já que a carga está uniformemente distribuída, temos:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss para :
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, para (fora da esfera), toda a carga está dentro da superfície gaussiana, então:
Resolvendo para :
Passo 7
Com o campo elétrico determinado, vamos agora calcular o potencial elétrico . O potencial é obtido integrando o campo elétrico:
Mas como o potencial no centro () é zero, precisamos ajustar os limites de integração.
Passo 8
Vamos dividir em dois casos:
Caso 1:
Primeiro, precisamos encontrar :
Agora, integrando de a :
Simplificando:
Caso 2:
Passo 9
Então, resumindo os resultados:
Para :
Para :
Passo 10
Agora, vamos representar isso em um gráfico. No gráfico, teremos no eixo vertical e no eixo horizontal. Para , diminui quadraticamente, e para , decai proporcionalmente a .
Passo 11
Por fim, comparando com o gráfico da questão 6 (que não temos aqui), observaríamos que provavelmente há semelhanças na forma geral do decaimento do potencial, mas com diferenças específicas dependendo do contexto da questão 6.
Resposta
O potencial elétrico em função da distância é dado por: