Uma esfera não condutora de raio R tem uma carga q uniformemente distribuída por seu volume. Tome o potencial elétrico no centro da esfera como sendo V=0. Determine o potencial elétrico V(r) em função da distância r ao centro da esfera V(r). Considere os casos dentro e fora da esfera e apresente esse resultado em forma de um gráfico. Por fim compare o resultado obtido aqui com o gráfico da quastão 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o potencial elétrico em função da distância do centro de uma esfera não condutora de raio que tem uma carga distribuída de forma uniforme por todo o seu volume. Além disso, a gente tem que considerar dois casos: quando está dentro da esfera ( ) e quando está fora dela ( ). O conteúdo principal aqui envolve eletrostática, especialmente o conceito de potencial elétrico e como calculá-lo usando a distribuição de carga e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser encontrado integrando o campo elétrico . Para isso, precisamos determinar tanto dentro quanto fora da esfera.

Passo 3

Vamos começar encontrando o campo elétrico oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
onde é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Para Qinterno = q ( r^3R^3 ) (dentro da esfera), a carga interna é proporcional ao volume dentro do raio . Já que a carga está uniformemente distribuída, temos:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss para E cdot 4pi r^2 = q ( r^3R^3 )varepsilon0 :
E = q r4pi varepsilon0 R^3
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, para E cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 (fora da esfera), toda a carga E = q4pi varepsilon0 r^2 está dentro da superfície gaussiana, então:
Resolvendo para :

Passo 7

Com o campo elétrico V(r) = -integralinfty^r E(r') , dr' determinado, vamos agora calcular o potencial elétrico . O potencial é obtido integrando o campo elétrico:
Mas como o potencial no centro ( ) é zero, precisamos ajustar os limites de integração.

Passo 8

Vamos dividir em dois casos:
Caso 1: V(r) = -integralR^r E(r') , dr' + V(R)
V(R) = -integralinfty^R q4pi varepsilon0 r'^2 , dr' = q4pi varepsilon0 R
Primeiro, precisamos encontrar V(r) = -integralR^r q r'4pi varepsilon0 R^3 , dr' + q4pi varepsilon0 R :
V(r) = -q4pi varepsilon0 R^3 ( r^22 - R^22 ) + q4pi varepsilon0 R
Agora, integrando de V(r) = q4pi varepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) a V(r) = q4pi varepsilon0 r :
Simplificando:
Caso 2:

Passo 9

Então, resumindo os resultados:
Para V(r) = q4pi varepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) :
V(r) = q4pi varepsilon0 r
Para :

Passo 10

Agora, vamos representar isso em um gráfico. No gráfico, teremos no eixo vertical e no eixo horizontal. Para , diminui quadraticamente, e para , decai proporcionalmente a .

Passo 11

Por fim, comparando com o gráfico da questão 6 (que não temos aqui), observaríamos que provavelmente há semelhanças na forma geral do decaimento do potencial, mas com diferenças específicas dependendo do contexto da questão 6.

Resposta

O potencial elétrico V(r) = q4pi varepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) & para r <= R q4pi varepsilon0 r & para r > R em função da distância é dado por:

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