Seja uma casca cilíndrica de raio R e altura h carregada com carga total Q. resolva o mesmo problema para um cilindro sólido, tratando-o agora como uma superposição de discos carregados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma casca cilíndrica com raio , altura e carga total . Ela pede para resolver o mesmo problema para um cilindro sólido, considerando-o como uma superposição de discos carregados. O conteúdo aqui é da eletrostática, especificamente sobre distribuição de carga e superposição de campos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar as contribuições de cada disco que compõe o cilindro sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o cilindro sólido como muitas camadas fininhas, ou discos, empilhados um sobre o outro ao longo da altura rho = Qpi R^2 h . Cada um desses discos terá uma carga pequena dq = rho cdot pi R^2 dz = Qh dz . Para encontrar , precisamos saber como a carga está distribuída no cilindro. Se a carga total é e o volume do cilindro é , a densidade de carga é:
A carga em um disco de espessura é então:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o campo elétrico dE = 14piepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + R^2)^3/2 gerado por cada pequeno disco no ponto de interesse. Supondo que estamos calculando o campo no eixo do cilindro, a contribuição de cada disco pode ser somada integralmente. A expressão para o campo elétrico de um disco no eixo a uma distância dE = 14piepsilon0 cdot (Q/h) dz cdot z(z^2 + R^2)^3/2 é dada por:
Substituindo :

Passo 4

Para encontrar o campo total E = integral-h/2^h/2 14piepsilon0 cdot (Q/h) z(z^2 + R^2)^3/2 dz do cilindro sólido, integramos ao longo de toda a altura do cilindro, de a :

Passo 5

Observando que a função é ímpar (porque o numerador tem e o denominador ), a integral de a de uma função ímpar é zero. Isso significa que, no eixo central do cilindro, as contribuições dos discos acima e abaixo se cancelam. Portanto, o campo elétrico dentro do cilindro sólido no eixo central é nulo.

Resposta

O campo elétrico no eixo central de um cilindro sólido carregado uniformemente com carga total , raio e altura é igual a zero.

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