Seja uma casca cilíndrica de raio
e altura
carregada com carga total
. resolva o mesmo problema para um cilindro sólido, tratando-o agora como uma superposição de discos carregados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma casca cilíndrica com raio
, altura
e carga total
. Ela pede para resolver o mesmo problema para um cilindro sólido, considerando-o como uma superposição de discos carregados. O conteúdo aqui é da eletrostática, especificamente sobre distribuição de carga e superposição de campos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar as contribuições de cada disco que compõe o cilindro sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o cilindro sólido como muitas camadas fininhas, ou discos, empilhados um sobre o outro ao longo da altura
. Cada um desses discos terá uma carga pequena
. Para encontrar
, precisamos saber como a carga está distribuída no cilindro. Se a carga total é
e o volume do cilindro é
, a densidade de carga
é:
A carga em um disco de espessura
é então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o campo elétrico
gerado por cada pequeno disco no ponto de interesse. Supondo que estamos calculando o campo no eixo do cilindro, a contribuição de cada disco pode ser somada integralmente. A expressão para o campo elétrico de um disco no eixo a uma distância
é dada por:
Substituindo
:
Passo 4
Para encontrar o campo total
do cilindro sólido, integramos
ao longo de toda a altura do cilindro, de
a
:
Passo 5
Observando que a função é ímpar (porque o numerador tem
e o denominador
), a integral de
a
de uma função ímpar é zero. Isso significa que, no eixo central do cilindro, as contribuições dos discos acima e abaixo se cancelam. Portanto, o campo elétrico dentro do cilindro sólido no eixo central é nulo.
Resposta
O campo elétrico no eixo central de um cilindro sólido carregado uniformemente com carga total
, raio
e altura
é igual a zero.