Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado caracterizado por um volume e uma pressão até um estado correspondente a um volume . Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com . Determine a pressão correspondente ao estado B. Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B. Suponha que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminuída?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás que está se expandindo de um estado A pra um estado B. No estado A, o volume é e a pressão é . À medida que ele se expande até , a pressão muda de acordo com . A gente precisa descobrir a nova pressão no estado B, calcular o trabalho que o gás realiza nessa expansão, e como a energia interna do gás muda nesse processo adiabático (sem troca de calor). Vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente da transformação adiabática.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a pressão no estado B. Sabemos que . Basta substituir por :
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás nessa expansão. Em um processo adiabático quasi-estático, o trabalho pode ser calculado pela integral da pressão em relação ao volume:
Vamos resolver essa integral.
Passo 4
Calculando a integral:
A integral de é:
Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos considerar que o processo é adiabático. Na termodinâmica, para processos adiabáticos envolvendo gás ideal, a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado:
Isso porque e, em adiabática, .
Passo 6
Como é positivo (o gás realiza trabalho ao se expandir), então é negativo. Isso significa que a energia interna do gás diminuiu.
Resposta
A pressão no estado B é:
O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é:
A variação da energia interna do gás é negativa, ou seja, a energia interna diminuiu.