Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume V0 e uma pressão p0 até um estado B correspondente a um volume V1. Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com p= p0 V0 ^5 / 3 V^-5 / 3. Determine a pressão p1 correspondente ao estado B. Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B. Suponha que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminuída?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás que está se expandindo de um estado A pra um estado B. No estado A, o volume é e a pressão é . À medida que ele se expande até , a pressão muda de acordo com . A gente precisa descobrir a nova pressão no estado B, calcular o trabalho que o gás realiza nessa expansão, e como a energia interna do gás muda nesse processo adiabático (sem troca de calor). Vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente da transformação adiabática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a pressão p1 = p0 ( V0V1 )^5/3 no estado B. Sabemos que . Basta substituir por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pelo gás nessa expansão. Em um processo adiabático quasi-estático, o trabalho W = integralV0^V1 p , dV = integralV0^V1 p0 V0^5/3 V^-5/3 dV pode ser calculado pela integral da pressão em relação ao volume:
Vamos resolver essa integral.

Passo 4

Calculando a integral:
W = p0 V0^5/3 integralV0^V1 V^-5/3 dV
A integral de integral V^-5/3 dV = V^-2/3-2/3 = -32 V^-2/3 é:
W = p0 V0^5/3 ( -32 V^-2/3 |V0^V1 ) = 32 p0 V0^5/3 ( V0^-2/3 - V1^-2/3 )
Então, substituindo:
W = 32 p0 V0 ( 1 - ( V0V1 )^2/3 )
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos considerar que o processo é adiabático. Na termodinâmica, para processos adiabáticos envolvendo gás ideal, a variação da energia interna De é igual ao trabalho realizado:
Isso porque e, em adiabática, .

Passo 6

Como é positivo (o gás realiza trabalho ao se expandir), então é negativo. Isso significa que a energia interna do gás diminuiu.

Resposta

A pressão p1 = p0 ( V0V1 )^5/3 no estado B é:
W = 32 p0 V0 ( 1 - ( V0V1 )^2/3 )
O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é:
A variação da energia interna do gás é negativa, ou seja, a energia interna diminuiu.

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