Uma esfera oca, de raio 10 cm e massa 15 kg , rola suavemente a partir do repouso por uma distância de 12,0 m até atingir a base de um plano inclinado com inclinação theta=30^circ.
(a) Qual a aceleração sofrida pelo centro de massa da esfera durante a descida?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma esfera oca com raio de 10 cm e massa de 15 kg que rola sem deslizar por uma distância de 12 metros até chegar na base de um plano inclinado com inclinação de 30°. Queremos descobrir qual é a aceleração sofrida pelo centro de massa dessa esfera durante a descida. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento rotacional e das leis de Newton aplicadas a corpos que rolam sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na esfera. No plano inclinado, a força da gravidade pode ser decomposta em duas componentes:
  • Paralela ao plano: responsável por acelerar a esfera para baixo.
  • Perpendicular ao plano: contrabalançada pela força normal.
Além disso, como a esfera está rolando sem deslizar, temos que considerar o torque causado pelo atrito que impede o deslizamento.

Passo 3

A aceleração da esfera pode ser encontrada usando a equação:
a = g sin(theta)1 + Im r^2
onde:
  • é a aceleração do centro de massa,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é o ângulo do plano inclinado,
  • é o momento de inércia da esfera,
  • é a massa da esfera,
  • é o raio da esfera.

Passo 4

Para uma esfera oca, o momento de inércia I = 23 m r^2 é dado por:
a = g sin(theta)1 + 23 m r^2m r^2 = g sin(theta)1 + 23 = g sin(theta)53 = 35 g sin(theta)
Substituindo esse valor na equação da aceleração:

Passo 5

Agora, substituímos os valores numéricos na equação:
a = 35 times 9,8 , m/s^2 times sin(30°)
Sabemos que a = 35 times 9,8 times 0,5 = 35 times 4,9 = 14,75 = 2,94 , m/s^2 . Então:

Resposta

A aceleração do centro de massa da esfera durante a descida é de 2,94 m/s².

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