Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade
no sentido positivo do eixo horizontal
. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo Fe sentido contrário ao eixo OX. A distância
percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: (o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a (
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera que rola sem deslizar em uma superfície plana. A esfera tem uma velocidade no centro de massa,
, e é aplicada uma força constante
na direção oposta ao movimento. Nosso objetivo é encontrar a distância
que a esfera percorre até que sua velocidade angular chegue a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica sobre movimento rotacional e translacional, além das relações entre eles para objetos rolando sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a esfera está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade linear do centro de massa (
) está relacionada à velocidade angular (
) pela fórmula:
onde
é o raio da esfera. Isso nos mostra que o movimento linear e o rotacional estão conectados.
Passo 3
Quando a força
é aplicada na direção oposta ao movimento, ela provoca uma desaceleração tanto na velocidade linear quanto na angular da esfera. Para encontrar essa desaceleração, precisamos considerar as leis de Newton para o movimento linear e a segunda lei de Newton para o movimento rotacional.
Passo 4
Vamos calcular a aceleração linear (
) causada pela força
. Usamos a segunda lei de Newton:
Então:
onde
é a massa da esfera.
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração angular (
). A força
aplicada no centro de massa também cria um torque (
) que afeta a rotação:
Segundo a segunda lei de Newton para rotação:
Substituindo o momento de inércia
:
Passo 6
Queremos encontrar a distância
percorrida até que a velocidade angular seja zero. Sabemos que a velocidade angular final (
) é zero e a inicial (
) está relacionada a
:
Usando a equação da velocidade angular com aceleração constante:
Como
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a distância
usando a equação do movimento linear com aceleração constante:
Substituindo
e
:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A distância percorrida pela esfera até que sua velocidade angular se anule é: