Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade vC M no sentido positivo do eixo horizontal O X. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo Fe sentido contrário ao eixo OX. A distância d percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: (o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a ( I=2 M R^2 / 5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera que rola sem deslizar em uma superfície plana. A esfera tem uma velocidade no centro de massa, vCM, e é aplicada uma força constante Fe na direção oposta ao movimento. Nosso objetivo é encontrar a distância d que a esfera percorre até que sua velocidade angular chegue a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica sobre movimento rotacional e translacional, além das relações entre eles para objetos rolando sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a esfera está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade linear do centro de massa ( vCM) está relacionada à velocidade angular ( omega) pela fórmula:
vCM = R omega
onde R é o raio da esfera. Isso nos mostra que o movimento linear e o rotacional estão conectados.

Passo 3

Quando a força Fe é aplicada na direção oposta ao movimento, ela provoca uma desaceleração tanto na velocidade linear quanto na angular da esfera. Para encontrar essa desaceleração, precisamos considerar as leis de Newton para o movimento linear e a segunda lei de Newton para o movimento rotacional.

Passo 4

Vamos calcular a aceleração linear ( a) causada pela força Fe. Usamos a segunda lei de Newton:
F = m a
Então:
a = FeM
onde M é a massa da esfera.

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração angular ( alpha). A força Fe aplicada no centro de massa também cria um torque ( tau) que afeta a rotação:
tau = Fe R
Segundo a segunda lei de Newton para rotação:
tau = I alpha
Substituindo o momento de inércia I = 25 M R^2:
Fe R = 25 M R^2 alpha Rightarrow alpha = 5 Fe2 M R

Passo 6

Queremos encontrar a distância d percorrida até que a velocidade angular seja zero. Sabemos que a velocidade angular final ( omegaf) é zero e a inicial ( omegai) está relacionada a vCM:
omegai = vCMR
Usando a equação da velocidade angular com aceleração constante:
omegaf = omegai + alpha t
Como omegaf = 0:
0 = vCMR + ( -5 Fe2 M R ) t Rightarrow t = 2 M vCM5 Fe

Passo 7

Agora, vamos encontrar a distância d usando a equação do movimento linear com aceleração constante:
d = vCM t + 12 a t^2
Substituindo a = -FeM e t = 2 M vCM5 Fe:
d = vCM ( 2 M vCM5 Fe ) + 12 ( -FeM ) ( 2 M vCM5 Fe )^2

Passo 8

Simplificando a expressão:
d = 2 M vCM^25 Fe - 12 cdot FeM cdot 4 M^2 vCM^225 Fe^2 = 2 M vCM^25 Fe - 2 M vCM^225 Fe = 8 M vCM^225 Fe

Resposta

A distância percorrida pela esfera até que sua velocidade angular se anule é:
d = 8 M vCM^225 Fe

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