- Uma partícula de massa
, que se desloca ao longo do eixo
horizontal, tem energia potencial
, em função da posição, dada por
, onde
é dado em metros e
em Joules. Considere que o atrito seja desprezível.
d) Calcule a velocidade da partícula na posição
.
d) Calcule a velocidade da partícula na posição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula com massa de 10 kg que se move ao longo do eixo horizontal $ x $. A energia potencial dessa partícula é dada por $ U(x) = x^3 - 36x $, onde $ x $ está em metros e $ U $ em Joules. Queremos descobrir qual é a velocidade da partícula quando ela está na posição $ x = 2,0 $ metros. Para isso, vamos usar o conceito de conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) permanece constante se não há atrito ou outras forças dissipativas atuando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia total da partícula. A energia mecânica total $ E $ é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial $ U $:
Como o atrito é desprezível, essa energia total permanece constante durante o movimento.
Passo 3
A energia cinética $ K $ é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa da partícula (10 kg)
- $ v $ é a velocidade que queremos encontrar
A energia potencial $ U(x) $ já está definida como $ U(x) = x^3 - 36x $.
Passo 4
Para usar a conservação da energia, precisamos saber o valor da energia total $ E $. Vamos supor que a partícula está inicialmente em uma posição de equilíbrio, onde sua velocidade é zero. Na posição de equilíbrio, toda a energia é potencial, então:
Vamos encontrar essa posição de equilíbrio $ x_{eq} $.
Passo 5
A posição de equilíbrio ocorre onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é zero:
Calculando a derivada de $ U(x) $:
Igualando a zero:
Vamos considerar a posição de equilíbrio positiva $ x_{eq} = 2\sqrt{3} $ metros.
Passo 6
Agora, calculamos a energia potencial na posição de equilíbrio:
Então, a energia total $ E $ é aproximadamente $ -83,138 , J $.
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia potencial na posição $ x = 2,0 $ metros:
Passo 8
Usando a conservação da energia $ E = K + U $, e sabendo que $ E $ é constante, temos:
Vamos resolver para $ v $:
Ops! Aqui percebemos algo estranho: obtivemos um valor negativo para $ v^2 $. Isso indica que com as condições assumidas, a partícula não pode atingir a posição $ x = 2,0 $ metros com energia negativa total. Provavelmente houve um erro na suposição inicial ou nos cálculos. Vamos revisar.
Passo 9
Revisando os cálculos anteriores, percebemos que a energia total $ E $ foi calculada incorretamente. Vamos refazer a energia total na posição de equilíbrio:
Parece que o cálculo estava correto, então a interpretação do resultado negativo sugere que a partícula, com essa energia total, não alcança $ x = 2,0 $ metros. Talvez seja necessário verificar as condições iniciais ou se há mais informações no enunciado.
Resposta
Com as condições dadas, a partícula não pode atingir a posição $ x = 2,0 $ metros, pois a energia total calculada não permite uma velocidade real nessa posição.