• Uma partícula de massa m=10 kg, que se desloca ao longo do eixo x horizontal, tem energia potencial U, em função da posição, dada por U(x)=x^3-36 x, onde x é dado em metros e U em Joules. Considere que o atrito seja desprezível.
    d) Calcule a velocidade da partícula na posição x=2,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula com massa de 10 kg que se move ao longo do eixo horizontal $ x $. A energia potencial dessa partícula é dada por $ U(x) = x^3 - 36x $, onde $ x $ está em metros e $ U $ em Joules. Queremos descobrir qual é a velocidade da partícula quando ela está na posição $ x = 2,0 $ metros. Para isso, vamos usar o conceito de conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) permanece constante se não há atrito ou outras forças dissipativas atuando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia total da partícula. A energia mecânica total $ E $ é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial $ U $:
E
Como o atrito é desprezível, essa energia total permanece constante durante o movimento.

Passo 3

A energia cinética $ K $ é dada por:
K
onde:
  • $ m $ é a massa da partícula (10 kg)
  • $ v $ é a velocidade que queremos encontrar
A energia potencial $ U(x) $ já está definida como $ U(x) = x^3 - 36x $.

Passo 4

Para usar a conservação da energia, precisamos saber o valor da energia total $ E $. Vamos supor que a partícula está inicialmente em uma posição de equilíbrio, onde sua velocidade é zero. Na posição de equilíbrio, toda a energia é potencial, então:
E
Vamos encontrar essa posição de equilíbrio $ x_{eq} $.

Passo 5

A posição de equilíbrio ocorre onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é zero:
x
Calculando a derivada de $ U(x) $:
dUdx = 0
Igualando a zero:
U(x)
Vamos considerar a posição de equilíbrio positiva $ x_{eq} = 2\sqrt{3} $ metros.

Passo 6

Agora, calculamos a energia potencial na posição de equilíbrio:
U(xeq) = (2raiz3)^3 - 36 times 2raiz3 = 8 times 3raiz3 - 72raiz3 = 24raiz3 - 72raiz3 = -48raiz3 approx -83,138 , Jou<=s
Então, a energia total $ E $ é aproximadamente $ -83,138 , J $.

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia potencial na posição $ x = 2,0 $ metros:
x = 2,0

Passo 8

Usando a conservação da energia $ E = K + U $, e sabendo que $ E $ é constante, temos:
E = K + U
Vamos resolver para $ v $:
E
Ops! Aqui percebemos algo estranho: obtivemos um valor negativo para $ v^2 $. Isso indica que com as condições assumidas, a partícula não pode atingir a posição $ x = 2,0 $ metros com energia negativa total. Provavelmente houve um erro na suposição inicial ou nos cálculos. Vamos revisar.

Passo 9

Revisando os cálculos anteriores, percebemos que a energia total $ E $ foi calculada incorretamente. Vamos refazer a energia total na posição de equilíbrio:
E
Parece que o cálculo estava correto, então a interpretação do resultado negativo sugere que a partícula, com essa energia total, não alcança $ x = 2,0 $ metros. Talvez seja necessário verificar as condições iniciais ou se há mais informações no enunciado.

Resposta

Com as condições dadas, a partícula não pode atingir a posição $ x = 2,0 $ metros, pois a energia total calculada não permite uma velocidade real nessa posição.

Exercícios relacionados