Uma esfera sólida, não condutora, de raio R, contém uma carga positiva, Q , uniformemente distribuída. (a) Calcule o valor do campo elétrico, no interior da esfera, a uma distância r do seu centro, em função de Q, varepsilon0, r e R. (b) Calcule o potencial na superfície da esfera, em função de Q, varepsilon0 e R, se o potencial no centro for considerado zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera sólida e não condutora com raio $ R $ que contém uma carga positiva $ Q $ distribuída de forma uniforme. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular o campo elétrico dentro da esfera a uma distância $ r $ do centro.
b) Calcular o potencial na superfície da esfera, sabendo que no centro está zero.
Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico para achar o potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga $ \rho $ é constante e dada por:
rho
Isso significa que a carga está espalhada igualmente por todo o volume da esfera.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico em um ponto dentro da esfera a uma distância $ r $ do centro, usamos a Lei de Gauss. Imaginamos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $ dentro da esfera maior. A Lei de Gauss nos diz que:
r
onde $ Q_{interno} $ é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Agora, precisamos calcular $ Q_{interno} $. Como a carga está uniformemente distribuída, a carga interna em um raio $ r $ é proporcional ao volume dessa região:
Qinterno

Passo 5

Substituindo $ Q_{interno} $ na Lei de Gauss:
Qinterno
Aqui, tiramos o $ E $ e o $ 4\pi r^2 $ fora da integral porque o campo elétrico é o mesmo em toda a superfície gaussiana e é radial.

Passo 6

Resolvendo para o campo elétrico $ E $:
E
Isso mostra que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta proporcionalmente à distância $ r $ a partir do centro.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): calcular o potencial na superfície da esfera, considerando que o potencial no centro é zero. O potencial elétrico é encontrado integrando o campo elétrico:
V(R) - V(0) = -integral0^R E , dr
Como $ V(0) = 0 $, temos:
V(0) = 0

Passo 8

Integrando:
V(R) = -Q4pi varepsilon0 R^3 integral0^R r , dr = -Q4pi varepsilon0 R^3 [ r^22 ]0^R
V(R) = -Q4pi varepsilon0 R^3 cdot R^22 = -Q8pi varepsilon0 R

Resposta

a) O campo elétrico dentro da esfera a uma distância $ r $ do centro é:
r
b) O potencial na superfície da esfera, considerando que o potencial no centro é zero, é:
E = Q r4pi varepsilon0 R^3

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