Um objeto é abandonado de uma altura
e cai em queda livre, atingindo o chão depois de um tempo
. Orientando a trajetória para cima e a origem no solo, encontre:
c) Esboce um gráfico da posição
do objeto e identifique nele os pontos característicos para
e
equivalentes a
.
c) Esboce um gráfico da posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com as causas desse movimento. No nosso caso, um objeto é solto de uma altura $ y = h $ e cai livremente até o chão, levando um tempo $ t_{\mathrm{q}} $ para chegar lá. O nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico da posição $ y(t) $ do objeto ao longo do tempo e identificar pontos-chave quando a posição $ y $ é igual a $ h $, $ \frac{3h}{4} $, $ \frac{h}{2} $, $ \frac{h}{4} $ e $ 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que descreve a posição do objeto em queda livre. Como o objeto está caindo livremente, a única força atuando nele é a gravidade, que acelera o objeto para baixo com uma aceleração constante $ g $ (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).
A equação da posição $ y(t) $ em função do tempo quando o objeto é solto (velocidade inicial $ v_0 = 0 $) é:
Aqui:
- $ y(t) $ é a altura do objeto no tempo $ t $.
- $ h $ é a altura inicial de onde o objeto foi solto.
- $ \frac{1}{2} g t^2 $ representa a distância que o objeto percorre em queda livre até o tempo $ t $.
Passo 3
Agora, para esboçar o gráfico, vamos analisar como $ y(t) $ se comporta com o tempo:
-
No instante inicial ($ t = 0 $):Então, no tempo 0, o objeto está na altura máxima $ h $.
-
Quando o objeto atinge o chão ($ y = 0 $):Esse é o tempo total que o objeto leva para atingir o chão.
-
Para $ y = \frac{3h}{4} $:
-
Para $ y = \frac{h}{2} $:
-
Para $ y = \frac{h}{4} $:
Passo 4
Com esses cálculos, a gente consegue identificar os pontos característicos no gráfico $ y(t) $:
- Ponto A: $ t = 0 $, $ y = h $ (ponto mais alto).
- Ponto B: $ t = \sqrt{\frac{h}{2g}} $, $ y = \frac{3h}{4} $.
- Ponto C: $ t = \sqrt{\frac{h}{g}} $, $ y = \frac{h}{2} $.
- Ponto D: $ t = \sqrt{\frac{3h}{2g}} $, $ y = \frac{h}{4} $.
- Ponto E: $ t = t_{\mathrm{q}} = \sqrt{\frac{2h}{g}} $, $ y = 0 $ (quando o objeto toca o chão).
O gráfico dessa função é uma parábola invertida, começando no ponto mais alto $ (0, h) $ e descendo até $ (t_{\mathrm{q}}, 0) $.
Resposta
Então, o gráfico da posição $ y(t) $ versus o tempo $ t $ é uma parábola invertida que começa em $ (0, h) $ e termina em $ (t_{\mathrm{q}}, 0) $. Os pontos característicos no gráfico são:
- $ y = h $ no tempo $ t = 0 $.
- $ y = \frac{3h}{4} $ no tempo $ t = \sqrt{\frac{h}{2g}} $.
- $ y = \frac{h}{2} $ no tempo $ t = \sqrt{\frac{h}{g}} $.
- $ y = \frac{h}{4} $ no tempo $ t = \sqrt{\frac{3h}{2g}} $.
- $ y = 0 $ no tempo $ t = t_{\mathrm{q}} = \sqrt{\frac{2h}{g}} $.
Esses pontos ajudam a entender como a posição do objeto varia ao longo do tempo durante a queda livre.