Uma esfera sólida de raio de
tem uma carga positiva total de
distribuída uniformemente por todo o seu volume. Calcule a magnitude do campo elétrico a uma distância do centro da esfera de (a) 0 cm , (b)
, ©
, (d)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera sólida com raio de 40,0 cm e uma carga positiva total de 26,0 μC distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume. Nosso objetivo aqui é calcular a magnitude do campo elétrico em quatro pontos diferentes a partir do centro da esfera: em 0 cm, 10,0 cm, 40,0 cm e 60,0 cm. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico. O campo elétrico é uma região ao redor de uma carga elétrica onde outra carga sente uma força. Para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de carga, a Lei de Gauss é super útil, especialmente em simetrias como a de uma esfera.
Passo 3
A Lei de Gauss nos diz que a integral do campo elétrico através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (ε₀). Em termos de fórmula:
Passo 4
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, podemos tratar a distribui��ão como uma carga volumétrica uniforme. Vamos calcular o campo elétrico em cada uma das distâncias solicitadas:
a) 0 cm
Passo 5
Em r = 0 cm, estamos exatamente no centro da esfera. Por simetria, todas as cargas ao redor exercem forças que se cancelam mutuamente. Portanto, o campo elétrico nesse ponto é zero.
Passo 6
b) 10,0 cm
Agora, r = 10,0 cm, que é dentro da esfera (já que 10 cm < 40 cm). Aqui, vamos usar a Lei de Gauss para uma carga distribuída uniformemente. A carga dentro de um raio r é proporcional ao volume, então:
Onde R é o raio total da esfera.
Passo 7
Calculando Q₍dentro₎:
Passo 8
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para E:
Passo 9
Substituindo os valores (lembrando que ε₀ ≈ 8,85 × 10⁻¹² C²/(N·m²)):
Passo 10
c) 40,0 cm
Em r = 40,0 cm, que é exatamente na superfície da esfera. A carga total dentro da superfície gaussiana é Qₜₒₜₐₗ = 26,0 μC. Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:
Passo 11
d) 60,0 cm
Agora, r = 60,0 cm, que está fora da esfera (60 cm > 40 cm). Aqui, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. Portanto, o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
Substituindo os valores:
Resposta
a) Em 0 cm, o campo elétrico é 0 N/C.
b) Em 10,0 cm, o campo elétrico é aproximadamente
.
c) Em 40,0 cm, o campo elétrico é aproximadamente
.
d) Em 60,0 cm, o campo elétrico é aproximadamente
.