Uma esfera sólida de raio de 40,0 cm tem uma carga positiva total de 26,0 mu C distribuída uniformemente por todo o seu volume. Calcule a magnitude do campo elétrico a uma distância do centro da esfera de (a) 0 cm , (b) 10,0 cm, © 40,0 cm, (d) 60,0 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera sólida com raio de 40,0 cm e uma carga positiva total de 26,0 μC distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume. Nosso objetivo aqui é calcular a magnitude do campo elétrico em quatro pontos diferentes a partir do centro da esfera: em 0 cm, 10,0 cm, 40,0 cm e 60,0 cm. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo elétrico. O campo elétrico é uma região ao redor de uma carga elétrica onde outra carga sente uma força. Para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de carga, a Lei de Gauss é super útil, especialmente em simetrias como a de uma esfera.

Passo 3

A Lei de Gauss nos diz que a integral do campo elétrico através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (ε₀). Em termos de fórmula:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0

Passo 4

Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, podemos tratar a distribui��ão como uma carga volumétrica uniforme. Vamos calcular o campo elétrico em cada uma das distâncias solicitadas:
a) 0 cm

Passo 5

Em r = 0 cm, estamos exatamente no centro da esfera. Por simetria, todas as cargas ao redor exercem forças que se cancelam mutuamente. Portanto, o campo elétrico nesse ponto é zero.

Passo 6

b) 10,0 cm
Agora, r = 10,0 cm, que é dentro da esfera (já que 10 cm < 40 cm). Aqui, vamos usar a Lei de Gauss para uma carga distribuída uniformemente. A carga dentro de um raio r é proporcional ao volume, então:
Qdentro = Qtotal times ( r^3R^3 )
Onde R é o raio total da esfera.

Passo 7

Calculando Q₍dentro₎:
Qdentro = 26,0,mu C times ( 10^340^3 ) = 26,0,mu C times ( 100064000 ) = 26,0,mu C times 0,015625 = 0,40625,mu C

Passo 8

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
E times 4pi r^2 = Qdentrovarepsilon0
Resolvendo para E:
E = Qdentro4pi varepsilon0 r^2

Passo 9

Substituindo os valores (lembrando que ε₀ ≈ 8,85 × 10⁻¹² C²/(N·m²)):
E = 0,40625 times 10^-6,C4pi times 8,85 times 10^-12,C²/(N·m²) times (0,10,m)^2 ²²
E approx 0,40625 times 10^-64 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,01
E approx 0,40625 times 10^-61,11265 times 10^-12 approx 3,65 times 10^5,N/C

Passo 10

c) 40,0 cm
Em r = 40,0 cm, que é exatamente na superfície da esfera. A carga total dentro da superfície gaussiana é Qₜₒₜₐₗ = 26,0 μC. Aplicando a Lei de Gauss:
E = Qtotal4pi varepsilon0 R^2
Substituindo os valores:
E = 26,0 times 10^-6,C4 pi times 8,85 times 10^-12,C²/(N·m²) times (0,40,m)^2 ²²
E approx 26,0 times 10^-64 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,16
E approx 26,0 times 10^-61,777 times 10^-12 approx 1,46 times 10^7,N/C

Passo 11

d) 60,0 cm
Agora, r = 60,0 cm, que está fora da esfera (60 cm > 40 cm). Aqui, toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana. Portanto, o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
E = Qtotal4pi varepsilon0 r^2
Substituindo os valores:
E = 26,0 times 10^-6,C4 pi times 8,85 times 10^-12,C²/(N·m²) times (0,60,m)^2 ²²
E approx 26,0 times 10^-64 times 3,1416 times 8,85 times 10^-12 times 0,36
E approx 26,0 times 10^-63,58 times 10^-11 approx 7,27 times 10^5,N/C

Resposta

a) Em 0 cm, o campo elétrico é 0 N/C.
b) Em 10,0 cm, o campo elétrico é aproximadamente .
c) Em 40,0 cm, o campo elétrico é aproximadamente .
d) Em 60,0 cm, o campo elétrico é aproximadamente .

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