Um tubo cilíndrico condutor muito longo (cilindro oco) possui raio interno e raio externo . Ele possui carga por unidade de comprimento igual a onde é uma constante positiva com unidades de . Um fio carregado está sobre o eixo do tubo. O fio possui uma carga por unidade de comprimento igual a . (a) Determine o campo
elétrico em função de e da distância ao eixo do tubo para (i) ; (ii) ; (iii) . Mostre seus resultados em um gráfico de em função da distância . (b) Qual é a carga por unidade de comprimento sobre (i) a superfície interna do tubo; (ii) a superfície externa do tubo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve um tubo cilíndrico condutor com certas características e uma linha de carga no meio dele. A gente vai usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor do tubo. Além disso, vamos descobrir como a carga se distribui nas superfícies interna e externa do tubo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre simetria cilíndrica e como aplicar a Lei de Gauss em situações com essa simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, onde precisamos determinar o campo elétrico em função da distância ao eixo do tubo para três regiões diferentes: , e .
A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para encontrar campos elétricos quando a distribuição de carga tem uma certa simetria. No nosso caso, como temos um tubo cilíndrico e uma linha de carga no centro, a simetria é cilíndrica.
Passo 3
(i) Para
Nesta região, estamos dentro do espaço central onde está a linha de carga. A única carga que contribui para o campo elétrico nesta região é a própria linha de carga .
A Lei de Gauss nos diz que:
Como a simetria é cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro coaxial com o tubo, de raio e comprimento .
O fluxo elétrico é:
A carga encerrada é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Então, para :
Passo 4
(ii) Para
Agora estamos dentro do material do condutor. Uma propriedade importante dos condutores em equilíbrio eletrostático é que o campo elétrico dentro do material condutor é zero.
Isso acontece porque os elétrons livres no condutor se rearranjam de forma a cancelar qualquer campo interno.
Então, para :
Passo 5
(iii) Para
Nessa região, estamos fora do tubo condutor. Precisamos considerar todas as cargas dentro da superfície gaussiana: a linha de carga no centro e as cargas na superfície interna e externa do tubo.
A linha de carga tem carga por unidade de comprimento .
Como o tubo é condutor e está carregado com por unidade de comprimento, a carga na superfície interna do tubo deve ser para neutralizar o campo dentro do condutor (já que o campo dentro do condutor é zero).
A carga na superfície externa do tubo será então:
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana para é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Então, para :
Passo 6
Gráfico de em função de
Vamos imaginar como fica o gráfico do campo elétrico em função da distância :
Para : – esse é um gráfico decrescente proporcional a .
Para : – aqui, o campo é zero, então o gráfico é uma linha plana no zero.
Para : – mais uma vez, um gráfico decrescente proporcional a , mas com uma inclinação diferente devido ao coeficiente .
Visualmente, o campo elétrico diminui à medida que nos afastamos do centro, salta para zero dentro do condutor e depois volta a diminuir fora do condutor com uma taxa diferente.
Passo 7
Vamos agora para a parte (b) do exercício, onde precisamos descobrir a carga por unidade de comprimento nas superfícies interna e externa do tubo.
(i) Carga por unidade de comprimento na superfície interna do tubo
Como já discutimos, para que o campo dentro do material condutor () seja zero, a carga na superfície interna deve neutralizar a carga da linha central. Ou seja:
(ii) Carga por unidade de comprimento na superfície externa do tubo
Sabemos que o tubo possui uma carga total por unidade de comprimento igual a . Isso inclui tanto a carga na superfície interna quanto na externa.
Já que a carga interna é , podemos encontrar a carga na externa:
Então, a carga por unidade de comprimento na superfície externa é:
Resposta
(a) O campo elétrico em função da distância ao eixo do tubo é: