Suponha que a corrente em um condutor diminui exponencialmente com o tempo de acordo com a equação
, onde
é a corrente inicial (em
) a
é uma constante que tem dimensões de tempo. Considere um ponto de observação fixo dentro do condutor. (b) Quanta carga passa por este ponto entre
e
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma corrente elétrica que diminui de forma exponencial com o tempo, descrita pela equação
, onde:
-
é a corrente inicial quando . -
é uma constante com unidades de tempo.
A pergunta quer saber quanta carga passa por um ponto fixo no condutor entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de que a carga elétrica (
) que passa por um ponto é a integral da corrente em relação ao tempo nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga
pode ser encontrada integrando a corrente
de
até
. A fórmula geral para a carga é:
Passo 3
Substituímos a expressão da corrente
na integral:
Aqui,
é uma constante e pode ser tirada da integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. A integral de
em relação a
é
. No nosso caso,
, então:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando os expoentes:
Como
:
Passo 6
Fatorando
e organizando:
Resposta
A carga que passa pelo ponto fixo no condutor entre
e
é:
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onde
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, ©
, (d)
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e
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e
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