Suponha que a corrente em um condutor diminui exponencialmente com o tempo de acordo com a equação I(t)=I0 e^-t / tau, onde I0 é a corrente inicial (em t=0 ) a tau é uma constante que tem dimensões de tempo. Considere um ponto de observação fixo dentro do condutor. (b) Quanta carga passa por este ponto entre t=0 e t=10,0 tau ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma corrente elétrica que diminui de forma exponencial com o tempo, descrita pela equação , onde:
  • é a corrente inicial quando .
  • é uma constante com unidades de tempo.
A pergunta quer saber quanta carga passa por um ponto fixo no condutor entre e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de que a carga elétrica ( ) que passa por um ponto é a integral da corrente em relação ao tempo nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga Q = integral0^10tau I(t) , dt pode ser encontrada integrando a corrente de até . A fórmula geral para a carga é:

Passo 3

Substituímos a expressão da corrente Q = integral0^10tau I0 e^-t / tau , dt na integral:
Q = I0 integral0^10tau e^-t / tau , dt
Aqui, é uma constante e pode ser tirada da integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral e^-t / tau , dt = -tau e^-t / tau + C . A integral de em relação a é . No nosso caso, , então:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de Q = I0 [ -tau e^-t / tau ]0^10tau a Q = I0 ( -tau e^-10tau / tau + tau e^-0 / tau ) :
Q = I0 ( -tau e^-10 + tau e^0 )
Q = I0 ( -tau e^-10 + tau )
Simplificando os expoentes:
Como :

Passo 6

Fatorando Q = I0 tau ( 1 - e^-10 ) e organizando:

Resposta

A carga que passa pelo ponto fixo no condutor entre Q = I0 tau ( 1 - e^-10 ) e é:

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