Uma esfera sólida de raio R=0.2 m e massa M=4 kg desce rolando sem deslizar por um plano inclinado de altura h=5 m. Qual é a velocidade angular da esfera ao chegar à base do plano?

Passo 1

Então, temos uma esfera sólida de raio e massa que está descendo por um plano inclinado com altura sem deslizar, ou seja, rolando sem derrapar. Nosso objetivo é encontrar a velocidade angular dessa esfera quando ela chegar na base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, semicologia do movimento de rotação e a relação entre velocidade linear e angular.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a energia inicial da esfera no topo do plano inclinado. A esfera tem energia potencial gravitacional devido à sua posição elevada. A energia potencial ( Ep = M cdot g cdot h ) é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

À medida que a esfera desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética, que tem duas partes: a energia cinética de translação ( Ec = Ec,trans + Ec,rot = 12 M v^2 + 12 I omega^2 ) e a energia cinética de rotação ( ). A energia cinética total ( ) é:
onde é a velocidade linear e é a velocidade angular da esfera. é o momento de inércia da esfera.

Passo 4

Para uma esfera sólida, o momento de inércia ( I = 25 M R^2 ) é:
v = R cdot omega
E como a esfera está rolando sem deslizar, a velocidade linear e a velocidade angular estão relacionadas por:

Passo 5

Substituindo Ec = 12 M v^2 + 12 ( 25 M R^2 ) ( vR )^2 = 12 M v^2 + 15 M v^2 = 710 M v^2 e na expressão da energia cinética total, temos:

Passo 6

Igualando a energia potencial inicial à energia cinética total na base, temos:
M cdot g cdot h = 710 M v^2
Podemos cancelar g cdot h = 710 v^2 dos dois lados:

Passo 7

Resolvendo para v^2 = 107 g h :
v = raiz 107 cdot 9,8 , m/s^2 cdot 5 , m = raiz 107 cdot 49 = raiz70 approx 8,37 , m/s

Passo 8

Agora que temos a velocidade linear omega = vR , podemos encontrar a velocidade angular omega = 8,37 , m/s0,2 , m = 41,85 , rad/s usando a relação:
Substituindo os valores:

Resposta

A velocidade angular da esfera ao chegar à base do plano é aproximadamente .

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