Uma esfera sólida de raio
e massa
desce rolando sem deslizar por um plano inclinado de altura
. Qual é a velocidade angular da esfera ao chegar à base do plano?
Passo 1
Então, temos uma esfera sólida de raio
e massa
que está descendo por um plano inclinado com altura
sem deslizar, ou seja, rolando sem derrapar. Nosso objetivo é encontrar a velocidade angular dessa esfera quando ela chegar na base do plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, semicologia do movimento de rotação e a relação entre velocidade linear e angular.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a energia inicial da esfera no topo do plano inclinado. A esfera tem energia potencial gravitacional devido à sua posição elevada. A energia potencial (
) é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
À medida que a esfera desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética, que tem duas partes: a energia cinética de translação (
) e a energia cinética de rotação (
). A energia cinética total (
) é:
onde
é a velocidade linear e
é a velocidade angular da esfera.
é o momento de inércia da esfera.
Passo 4
Para uma esfera sólida, o momento de inércia (
) é:
E como a esfera está rolando sem deslizar, a velocidade linear
e a velocidade angular
estão relacionadas por:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da energia cinética total, temos:
Passo 6
Igualando a energia potencial inicial à energia cinética total na base, temos:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos a velocidade linear
, podemos encontrar a velocidade angular
usando a relação:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade angular da esfera ao chegar à base do plano é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Uma roda de momento de inércia
está girando a
. Um torque de 1 Nm atua sobre a roda no sentido oposto ao movimento por 5 s . Qual é a velocidade angular final da roda?
Um disco de momento de inércia
está sujeito a um torque de 2 Nm . Qual é a aceleração angular do disco?
Um cilindro de momento de inércia
gira a
em torno de seu eixo. Um segundo cilindro idêntico, inicialmente em repouso, é acoplado ao primeiro. Qual é a nova velocidade angular do sistema?
Uma roda com momento de inércia
está inicialmente em repouso. Qual torque constante é necessário para que ela alcance uma velocidade angular de
5 s ?