Uma esfera de vidro de paredes delgadas e raio R está cheia de água. A una distância 3 R de sua superficie se coloca um objeto. Ache a posição da imagem final.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera de vidro fininha, com raio R, cheia de água. Tem um objeto colocado a uma distância de 3R da superfície dessa esfera. Nosso objetivo é encontrar onde fica a imagem desse objeto depois que a luz passa pela esfera. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Refração de Snell e a Equação de Lentes Esféricas que ajudam a determinar a posição da imagem formada por superfícies curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os materiais envolvidos. A esfera é feita de vidro e está cheia de água. Isso significa que temos duas interfaces para considerar: do ar para a água e da água para o vidro. Cada interface pode desviar a luz de uma maneira diferente, e isso afeta onde a imagem será formada.

Passo 3

Vamos lembrar da Lei de Snell, que diz que n1 sintheta1 = n2 sintheta2, onde n é o índice de refração. Essa lei nos ajuda a entender como a luz se desvia quando passa de um meio para outro. No nosso caso, temos:
  • Do ar para a água: índice de refração do ar ( n1 approx 1) e da água ( n2 approx 1,33).
  • Da água para o vidro: índice de refração da água ( n1 approx 1,33) e do vidro ( n2 approx 1,5).

Passo 4

Agora, vamos usar a Equação das Lentes Esféricas para determinar a posição da imagem após cada refração. A equação é:
n1s + n2s' = n2 - n1R
onde:
  • n1 e n2 são os índices de refração dos meios,
  • s é a distância do objeto à superfície,
  • s' é a distância da imagem à superfície,
  • R é o raio da superfície (positiva se convexa, negativa se côncava).

Passo 5

Vamos aplicar essa equação para a primeira interface, do ar para a água. Como a esfera é convexo para o objeto, R será positivo. Temos:
1s + 1,33s' = 1,33 - 1R
Sabemos que s = 3R, então substituindo:
13R + 1,33s' = 0,33R

Passo 6

Resolvendo para s':
1,33s' = 0,33R - 13R = 0,33 times 3 - 13R = 0,99 - 13R = -0,013R
s' = 1,33 times 3R-0,01 = 3,99R-0,01 = -399R
O sinal negativo indica que a imagem formada na primeira refração está a 399R dentro da água.

Passo 7

Agora, essa imagem atua como objeto para a segunda refração, da água para o vidro. Vamos aplicar novamente a Equação das Lentes Esféricas. Agora:
1,33s + 1,5s' = 1,5 - 1,33R = 0,17R
Aqui, s = -399R (negativo porque o objeto está dentro do meio anterior).

Passo 8

Substituindo na equação:
1,33-399R + 1,5s' = 0,17R
1,5s' = 0,17R - 1,33-399R = 0,17R + 1,33399R = 0,17 times 399 + 1,33399R = 67,83 + 1,33399R = 69,16399R
s' = 1,5 times 399R69,16 approx 598,5R69,16 approx 8,66R

Resposta

A posição da imagem final está a aproximadamente 8,66R do centro da esfera.

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