Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o teste dos caminhos para mostrar que o limite
não existe. Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis. O teste dos caminhos envolve calcular o limite ao se aproximar do ponto
por diferentes trajetórias (ou caminhos) e ver se o resultado é sempre o mesmo. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples: o eixo x, ou seja,
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo x, o limite é 1.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho: o eixo y, ou seja,
. Substituindo
na função, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo eixo y, o limite é -3.
Passo 4
Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos diferentes são 1 e -3. Como esses valores não são iguais, isso indica que o limite geral depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Resposta
Portanto, pelo teste dos caminhos, o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo.
(f) .
(f)
Eshocc a região limitada pelas curvas
c
a sua área.
Resolva as integrais abaixo.
(i) .
(i)