Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o teste dos caminhos para mostrar que o limite não existe. Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis. O teste dos caminhos envolve calcular o limite ao se aproximar do ponto por diferentes trajetórias (ou caminhos) e ver se o resultado é sempre o mesmo. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples: o eixo x, ou seja, . Substituindo na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo x, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho: o eixo y, ou seja, . Substituindo na função, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de pelo eixo y, o limite é -3.

Passo 4

Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos diferentes são 1 e -3. Como esses valores não são iguais, isso indica que o limite geral depende do caminho escolhido para se aproximar de .

Resposta

Portanto, pelo teste dos caminhos, o limite não existe.

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(f) .
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(i) .