Faça um esboço das curvas de nível de f para os valores de k dados
f(x, y) = 2x - 3y em k = -3, 0, 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazermos um esboço das curvas de nível da função para os valores de . Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível, que são linhas no plano onde a função assume um valor constante . Para resolver, vamos precisar entender como transformar a função em equações de linhas e depois plotar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para a função , as curvas de nível são as soluções da equação . Isso significa que, para cada valor de , teremos uma linha diferente no plano .

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para a forma , que é mais fácil de plotar. Isolando :
Isso mostra que cada curva de nível é uma reta com inclinação e intercepto .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de dados na equação para encontrar as equações específicas das linhas:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com as equações das três retas, podemos esboçar as curvas de nível no plano . Todas têm a mesma inclinação , o que significa que são paralelas entre si. Os interceptos diferem, deslocando as linhas para cima ou para baixo:
  • passa pelo ponto
  • passa pela origem
  • passa pelo ponto

Resposta

As curvas de nível de para são três retas paralelas dadas por:

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