Faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
f(x, y) = raiz(y^2 - x^2 + 9).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer fazer um esboço do gráfico da função . Isso envolve entender como essa função se comporta no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e pensar em superfícies no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: . Para que a função seja real, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Isso nos dá uma condição que os valores de e devem satisfazer para que seja definido.

Passo 3

Vamos rearranjar a desigualdade para entender melhor:
Isso significa que a diferença entre e pode ser no mínimo . Essa condição define a região no plano onde a função existe.

Passo 4

Agora, vamos pensar no gráfico da função . Essa função representa uma superfície no espaço 3D. Para visualizar isso, podemos considerar diferentes valores de e e calcular .

Passo 5

Vamos identificar alguns pontos chave:
  • Quando , a função fica:
Isso é uma função parabólica que abre para cima no eixo .
  • Quando , temos:
Aqui, , então varia de a , e o gráfico forma uma semicircunferência no plano .

Passo 6

Além disso, a superfície é simétrica em relação ao eixo , já que está ao quadrado na função. Isso significa que para cada ponto , o ponto também está na superfície.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Desenhe o eixo , e .
  • Marque a semicircunferência no plano com raio 3.
  • Para cada valor de , desenhe uma parabola que abre para cima, deslocada conforme aumenta ou diminui.
  • Lembre-se da simetria em relação ao eixo .

Resposta

O gráfico da função é uma superfície tridimensional que combina características de uma paraboloide e uma hiperbólica, formada pela união de semicircunferências no plano e parábolas simétricas ao longo do eixo . O esboço inclui uma semicircunferência de raio 3 no plano e parábolas que se abrem para cima, mantendo a simetria em relação ao eixo .

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