Faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer fazer um esboço do gráfico da função
. Isso envolve entender como essa função se comporta no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções de duas variáveis e pensar em superfícies no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Para que a função seja real, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Isso nos dá uma condição que os valores de
e
devem satisfazer para que
seja definido.
Passo 3
Vamos rearranjar a desigualdade para entender melhor:
Isso significa que a diferença entre
e
pode ser no mínimo
. Essa condição define a região no plano
onde a função existe.
Passo 4
Agora, vamos pensar no gráfico da função
. Essa função representa uma superfície no espaço 3D. Para visualizar isso, podemos considerar diferentes valores de
e
e calcular
.
Passo 5
Vamos identificar alguns pontos chave:
- Quando
, a função fica:
Isso é uma função parabólica que abre para cima no eixo
.
- Quando
, temos:
Aqui,
, então
varia de
a
, e o gráfico forma uma semicircunferência no plano
.
Passo 6
Além disso, a superfície é simétrica em relação ao eixo
, já que
está ao quadrado na função. Isso significa que para cada ponto
, o ponto
também está na superfície.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Desenhe o eixo
, e . - Marque a semicircunferência no plano
com raio 3. - Para cada valor de
, desenhe uma parabola que abre para cima, deslocada conforme aumenta ou diminui. - Lembre-se da simetria em relação ao eixo
.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície tridimensional que combina características de uma paraboloide e uma hiperbólica, formada pela união de semicircunferências no plano
e parábolas simétricas ao longo do eixo
. O esboço inclui uma semicircunferência de raio 3 no plano
e parábolas que se abrem para cima, mantendo a simetria em relação ao eixo
.