No espaço euclidiano , consideremos os vetores e . Determine e o co-seno do ângulo entre e . Resp.: , e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial no espaço euclidiano . A gente tem dois vetores:
O que precisamos calcular é o produto interno , as normas e , a distância , o vetor normalizado e o cosseno do ângulo entre e . Vamos precisar usar fórmulas de produto interno, norma de vetores, distância euclidiana e propriedades do cosseno do ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno . O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos de suas componentes correspondentes:
Passo 3
Agora, vamos achar a norma de , que é o comprimento do vetor. A norma de um vetor é dada por:
Para :
Passo 4
Da mesma forma, vamos calcular a norma de :
Passo 5
A distância entre dois vetores é a norma da diferença entre eles:
Passo 6
Vamos encontrar o vetor primeiro:
Agora, calculamos a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o cosseno do ângulo entre e . A fórmula é: