No espaço euclidiano
, consideremos os vetores
e
. Determine
e o co-seno do ângulo entre
e
. Resp.:
,
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial no espaço euclidiano
. A gente tem dois vetores:
O que precisamos calcular é o produto interno
, as normas
e
, a distância
, o vetor normalizado
e o cosseno do ângulo entre
e
. Vamos precisar usar fórmulas de produto interno, norma de vetores, distância euclidiana e propriedades do cosseno do ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno
. O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos de suas componentes correspondentes:
Passo 3
Agora, vamos achar a norma de
, que é o comprimento do vetor. A norma de um vetor
é dada por:
Para
:
Passo 4
Da mesma forma, vamos calcular a norma de
:
Passo 5
A distância
entre dois vetores é a norma da diferença entre eles:
Passo 6
Vamos encontrar o vetor
primeiro:
Agora, calculamos a norma de
:
Então, o vetor normalizado é:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o cosseno do ângulo entre
e
. A fórmula é:
Já temos
,
e
, então: