No espaço euclidiano , consideremos os vetores e . Determine e o co-seno do ângulo entre e . Resp.: , e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial no espaço euclidiano . A gente tem dois vetores:
O que precisamos calcular é o produto interno , as normas e , a distância , o vetor normalizado e o cosseno do ângulo entre e . Vamos precisar usar fórmulas de produto interno, norma de vetores, distância euclidiana e propriedades do cosseno do ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno . O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos de suas componentes correspondentes:

Passo 3

Agora, vamos achar a norma de , que é o comprimento do vetor. A norma de um vetor é dada por:
Para :

Passo 4

Da mesma forma, vamos calcular a norma de :

Passo 5

A distância entre dois vetores é a norma da diferença entre eles:

Passo 6

Vamos encontrar o vetor primeiro:
Agora, calculamos a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o cosseno do ângulo entre e . A fórmula é:
Já temos , e , então:

Resposta

e

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Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) e
Sejam , em que é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
é
Resp.: Use as definições.
Sejam e . Quando possível, calcule:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) .
Determine as matrizes de acordo com as regras estabelecidas para seus elementos: (a) , tal que .