No espaço euclidiano R^4, consideremos os vetores u=(1,2,0,1) e v=(3,1,4,2). Determine lang<= u, vrang<=,|u|,|v|, d(u, v), 1|u+v|(u+v) e o co-seno do ângulo entre u e v. Resp.: 7, raiz6, raiz30, raiz22,(2 raiz25, 3 raiz210, 2 raiz25, 3 raiz210) e 7 raiz530

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial no espaço euclidiano u = (1, 2, 0, 1) . A gente tem dois vetores:
v = (3, 1, 4, 2)
O que precisamos calcular é o produto interno , as normas e , a distância , o vetor normalizado e o cosseno do ângulo entre e . Vamos precisar usar fórmulas de produto interno, norma de vetores, distância euclidiana e propriedades do cosseno do ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= u, v rang<= = (1)(3) + (2)(1) + (0)(4) + (1)(2) = 3 + 2 + 0 + 2 = 7 . O produto interno de dois vetores é a soma dos produtos de suas componentes correspondentes:

Passo 3

Agora, vamos achar a norma de |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2 , que é o comprimento do vetor. A norma de um vetor |u| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 0 + 1 = raiz6 é dada por:
Para :

Passo 4

Da mesma forma, vamos calcular a norma de |v| = raiz3^2 + 1^2 + 4^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 16 + 4 = raiz30 :

Passo 5

A distância d(u, v) = |u - v| = raiz(1-3)^2 + (2-1)^2 + (0-4)^2 + (1-2)^2 = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 16 + 1 = raiz22 entre dois vetores é a norma da diferença entre eles:

Passo 6

Vamos encontrar o vetor u + v = (1+3, 2+1, 0+4, 1+2) = (4, 3, 4, 3) primeiro:
|u + v| = raiz4^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 + 16 + 9 = raiz50 = 5raiz2
Agora, calculamos a norma de 1|u + v|(u + v) = 15raiz2(4, 3, 4, 3) = (45raiz2, 35raiz2, 45raiz2, 35raiz2) :
(4raiz210, 3raiz210, 4raiz210, 3raiz210) = (2raiz25, 3raiz210, 2raiz25, 3raiz210)
Então, o vetor normalizado é:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o cosseno do ângulo entre cos(theta) = lang<= u, v rang<=|u| |v| e cos(theta) = 7raiz6 cdot raiz30 = 7raiz180 = 76raiz5 = 7raiz530 . A fórmula é:
Já temos , e , então:

Resposta

e

Exercícios relacionados