Sejam A=[rrr1 & 2 & 3 2 & 1 & -1], B=[rrr-2 & 0 & 1 3 & 0 & 1], C=[c-1 2 4] e D=[ll2 & -1]. Quando possível, calcule:
(a) D(A+B);
(b) (2 A-B) C;
© (D A)(-C);
(d) [D(A-2 B)] C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem quatro matrizes dadas: A, B, C e D. O que precisamos fazer é calcular algumas combinações delas, como D(A+B), (2A - B)C, entre outras. Para isso, vamos usar os conceitos de soma de matrizes e multiplicação de matrizes, que são operações básicas na álgebra linear.

Passo 2

Parte (a): Calcular D(A + B)
Primeiro, vamos calcular a soma das matrizes A e B. A soma de matrizes é feita elemento a elemento, ou seja, somamos cada elemento de A com o correspondente de B.
A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1
B = -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1
Então,
A + B = 1 + (-2) & 2 + 0 & 3 + 1 2 + 3 & 1 + 0 & -1 + 1 = -1 & 2 & 4 5 & 1 & 0
Agora, vamos multiplicar a matriz D pela matriz resultante A + B. A multiplicação de matrizes é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda. Aqui, D é 1 times 2 e A + B é 2 times 3, então a multiplicação é válida e o resultado será uma matriz 1 times 3.
D = 2 & -1
A + B = -1 & 2 & 4 5 & 1 & 0
Multiplicando:
D(A + B) = 2 & -1 -1 & 2 & 4 5 & 1 & 0
= 2 times (-1) + (-1) times 5, 2 times 2 + (-1) times 1, 2 times 4 + (-1) times 0
= (-2 - 5), (4 - 1), (8 - 0)
= -7 & 3 & 8

Passo 3

Parte (b): Calcular (2A - B)C
Primeiro, vamos calcular 2A - B. Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
2A = 2 times 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 = 2 & 4 & 6 4 & 2 & -2
Agora, subtraímos a matriz B:
2A - B = 2 & 4 & 6 4 & 2 & -2 - -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 = 2 - (-2) & 4 - 0 & 6 - 1 4 - 3 & 2 - 0 & -2 - 1 = 4 & 4 & 5 1 & 2 & -3
Agora, multiplicamos essa matriz por C.
C = -1 2 4
A multiplicação de uma matriz 2 times 3 por uma matriz 3 times 1 resulta em uma matriz 2 times 1.
(2A - B)C = 4 & 4 & 5 1 & 2 & -3 -1 2 4
= 4 times (-1) + 4 times 2 + 5 times 4, 1 times (-1) + 2 times 2 + (-3) times 4
= (-4 + 8 + 20), (-1 + 4 - 12)
= 24 -9

Passo 4

Parte ©: Calcular (DA)(-C)
Primeiro, calculamos o produto DA.
D = 2 & -1
A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1
Multiplicando D por A:
DA = 2 & -1 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 = 2 times 1 + (-1) times 2, 2 times 2 + (-1) times 1, 2 times 3 + (-1) times (-1)
= (2 - 2), (4 - 1), (6 + 1)
= 0 & 3 & 7
Agora, multiplicamos DA por -C.
-C = 1 -2 -4
Multiplicando:
(DA)(-C) = 0 & 3 & 7 1 -2 -4 = 0 times 1 + 3 times (-2) + 7 times (-4)
= 0 - 6 - 28 = -34

Passo 5

Parte (d): Calcular [D(A - 2B)]C
Primeiro, calculamos A - 2B.
2B = 2 times -2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 = -4 & 0 & 2 6 & 0 & 2
Agora, subtraímos de A:
A - 2B = 1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 - -4 & 0 & 2 6 & 0 & 2 = 1 - (-4) & 2 - 0 & 3 - 2 2 - 6 & 1 - 0 & -1 - 2 = 5 & 2 & 1 -4 & 1 & -3
Agora, multiplicamos D por essa matriz:
D = 2 & -1
A - 2B = 5 & 2 & 1 -4 & 1 & -3
D(A - 2B) = 2 & -1 5 & 2 & 1 -4 & 1 & -3 = 2 times 5 + (-1) times (-4), 2 times 2 + (-1) times 1, 2 times 1 + (-1) times (-3)
= (10 + 4), (4 - 1), (2 + 3)
= 14 & 3 & 5
Agora, multiplicamos por C:
C = -1 2 4
[D(A - 2B)]C = 14 & 3 & 5 -1 2 4 = 14 times (-1) + 3 times 2 + 5 times 4
= -14 + 6 + 20 = 12

Resposta

(a) D(A+B) = -7 & 3 & 8
(b) (2A - B) C = 24 -9
© (D A)(-C) = -34
(d) [D(A - 2 B)] C = 12

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