Uma partícula de massa m tem seu movimento restrito ao plano x y e está sujeita ao potencial harmônico V(r)=k r^2 / 2, onde k>0 e r, varphi são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo varphi=omega0 t. Nesta questão, faça omega=raizk / m.
(a) Escreva a Lagrangiana L=L(r, dotr) do sistema, e obtenha a equação de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no campo da Mecânica Analítica, mais especificamente usando o Formalismo de Lagrange. Precisamos escrever a Lagrangiana do sistema e depois obter a equação de Lagrange. Para isso, vamos precisar entender as energias cinética e potencial da partícula e aplicar a restrição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana L = T - V é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial :

Passo 3

A partícula está se movendo no plano T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dotvarphi^2 ) e usando coordenadas polares V = 12 k r^2 . A energia cinética em coordenadas polares é:
A energia potencial harmônica fornecida é:

Passo 4

A questão nos dá uma restrição: dotvarphi = omega0 . Isso significa que a velocidade angular é constante e igual a :

Passo 5

Substituindo T = 12 m ( dotr^2 + r^2 omega0^2 ) na expressão da energia cinética:
L = 12 m ( dotr^2 + omega0^2 r^2 ) - 12 k r^2
Agora, montamos a Lagrangiana:

Passo 6

Vamos simplificar a Lagrangiana sabendo que k = m omega^2 :
L = 12 m dotr^2 + 12 m omega0^2 r^2 - 12 m omega^2 r^2
Substituindo na Lagrangiana:
L = 12 m dotr^2 + 12 m ( omega0^2 - omega^2 ) r^2
Simplificando os termos em :

Passo 7

Agora, aplicamos a Equação de Lagrange para coordenada ddt ( partial Lpartial dotr ) - partial Lpartial r = 0 :
partial Lpartial dotr = m dotr
Calculando os termos:
ddt ( m dotr ) = m ddotr
partial Lpartial r = m ( omega0^2 - omega^2 ) r
m ddotr - m ( omega0^2 - omega^2 ) r = 0
Substituindo na equação de Lagrange:

Resposta

A equação de Lagrange para o sistema é:
ddotr + ( omega^2 - omega0^2 ) r = 0

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