Uma partícula de massa
tem seu movimento restrito ao plano
e está sujeita ao potencial harmônico
, onde
e
são as coordenadas polares. Além disso, a partícula está sujeita ao vínculo
. Nesta questão, faça
.
(a) Escreva a Lagrangiana
do sistema, e obtenha a equação de Lagrange.
(a) Escreva a Lagrangiana
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no campo da Mecânica Analítica, mais especificamente usando o Formalismo de Lagrange. Precisamos escrever a Lagrangiana do sistema e depois obter a equação de Lagrange. Para isso, vamos precisar entender as energias cinética e potencial da partícula e aplicar a restrição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana
é dada pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Passo 3
A partícula está se movendo no plano
e usando coordenadas polares
. A energia cinética em coordenadas polares é:
A energia potencial harmônica fornecida é:
Passo 4
A questão nos dá uma restrição:
. Isso significa que a velocidade angular
é constante e igual a
:
Passo 5
Substituindo
na expressão da energia cinética:
Agora, montamos a Lagrangiana:
Passo 6
Vamos simplificar a Lagrangiana sabendo que
:
Substituindo na Lagrangiana:
Simplificando os termos em
:
Passo 7
Agora, aplicamos a Equação de Lagrange para coordenada
:
Calculando os termos:
Substituindo na equação de Lagrange:
Resposta
A equação de Lagrange para o sistema é: