Prove que é um conjunto L.I. no espaço . (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por e prossiga.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto é linearmente independente no espaço . Isso está ligado ao conteúdo de independência linear, onde queremos mostrar que a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e manipulação de funções exponenciais. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear desses funções que resulta na função zero para todo . Ou seja:
Aqui, são escalares que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, como a sugestão do exercício diz para derivar a combinação linear, vamos fazer isso. Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos derivar novamente:
E assim por diante, derivando mais vezes até termos um sistema de equações que possamos resolver.

Passo 5

No total, como temos 5 funções, vamos precisar derivar 4 vezes para obter 5 equações. Depois de derivar várias vezes, acabaremos com um sistema onde a única solução possível é que todos os coeficientes sejam iguais a zero.

Resposta

Portanto, mostramos que a única solução para a combinação linear ser zero é . Isso prova que o conjunto é linearmente independente no espaço .

Exercícios relacionados

Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
No espaço dos polinômios de grau , verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
Sejam subconjuntos L.I. do espaço vetorial .
(a) Se , prove que é L.I. .
(b) Se cada tem elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente com para cada .
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que seja uma base de ?
Sejam subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço que contenha uma base de , uma base de e uma base de .