Prove que
é um conjunto L.I. no espaço
. (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por
e prossiga.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto
é linearmente independente no espaço
. Isso está ligado ao conteúdo de independência linear, onde queremos mostrar que a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e manipulação de funções exponenciais. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear desses funções que resulta na função zero para todo
. Ou seja:
Aqui,
são escalares que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, como a sugestão do exercício diz para derivar a combinação linear, vamos fazer isso. Derivando ambos os lados da equação em relação a
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos derivar novamente:
E assim por diante, derivando mais vezes até termos um sistema de equações que possamos resolver.
Passo 5
No total, como temos 5 funções, vamos precisar derivar 4 vezes para obter 5 equações. Depois de derivar várias vezes, acabaremos com um sistema onde a única solução possível é que todos os coeficientes
sejam iguais a zero.
Resposta
Portanto, mostramos que a única solução para a combinação linear ser zero é
. Isso prova que o conjunto
é linearmente independente no espaço
.
Exercícios relacionados
Obtenha uma base e conseqüentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
(a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (traço) é zero.
(b) matrizes que têm a primeira e a última linha iguais.
© matrizes cuja segunda linha é igual à terceira coluna.
(d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da segunda coluna.
No espaço
dos polinômios de grau
, verifique se os polinômios abaixo são L.I. ou L.D.:
Sejam
subconjuntos L.I. do espaço vetorial
.
(a) Se , prove que
é L.I. .
(b) Se cada tem
elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente
com
para cada
.
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que
seja uma base de
?
(a) Se
(b) Se cada
© Supondo
Sejam
subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço
que contenha uma base de
, uma base de
e uma base de
.