Prove que 1, e^x, e^2 x, e^3 x, e^4 x é um conjunto L.I. no espaço C^infty(R). (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por e^x e prossiga.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto 1, e^x, e^2 x, e^3 x, e^4 x é linearmente independente no espaço C^infty(R). Isso está ligado ao conteúdo de independência linear, onde queremos mostrar que a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e manipulação de funções exponenciais. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear desses funções que resulta na função zero para todo x in R. Ou seja:
c0 cdot 1 + c1 e^x + c2 e^2x + c3 e^3x + c4 e^4x = 0
Aqui, c0, c1, c2, c3, c4 são escalares que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, como a sugestão do exercício diz para derivar a combinação linear, vamos fazer isso. Derivando ambos os lados da equação em relação a x, temos:
0 + c1 e^x + 2c2 e^2x + 3c3 e^3x + 4c4 e^4x = 0
Simplificando:
c1 e^x + 2c2 e^2x + 3c3 e^3x + 4c4 e^4x = 0

Passo 4

Vamos derivar novamente:
c1 e^x + 4c2 e^2x + 9c3 e^3x + 16c4 e^4x = 0
E assim por diante, derivando mais vezes até termos um sistema de equações que possamos resolver.

Passo 5

No total, como temos 5 funções, vamos precisar derivar 4 vezes para obter 5 equações. Depois de derivar várias vezes, acabaremos com um sistema onde a única solução possível é que todos os coeficientes c0, c1, c2, c3, c4 sejam iguais a zero.

Resposta

Portanto, mostramos que a única solução para a combinação linear ser zero é c0 = c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Isso prova que o conjunto 1, e^x, e^2 x, e^3 x, e^4 x é linearmente independente no espaço C^infty(R).

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