Prove que
é um conjunto L.I. no espaço
. (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por
e prossiga.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto
é linearmente independente no espaço
. Isso está ligado ao conteúdo de independência linear, onde queremos mostrar que a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e manipulação de funções exponenciais. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear desses funções que resulta na função zero para todo
. Ou seja:
Aqui,
são escalares que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, como a sugestão do exercício diz para derivar a combinação linear, vamos fazer isso. Derivando ambos os lados da equação em relação a
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos derivar novamente:
E assim por diante, derivando mais vezes até termos um sistema de equações que possamos resolver.
Passo 5
No total, como temos 5 funções, vamos precisar derivar 4 vezes para obter 5 equações. Depois de derivar várias vezes, acabaremos com um sistema onde a única solução possível é que todos os coeficientes
sejam iguais a zero.
Resposta
Portanto, mostramos que a única solução para a combinação linear ser zero é
. Isso prova que o conjunto
é linearmente independente no espaço
.