No espaço dos polinômios reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se os vetores (que, nesse caso, são polinômios) , e são linearmente dependentes no espaço dos polinômios reais . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear. Basicamente, três vetores são linearmente dependentes se dá para escrever um deles como combinação dos outros dois. Vamos precisar montar um sistema de equações usando os coeficientes dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os polinômios:
A ideia é encontrar se existem constantes , e , diferentes de zero, tais que:
Passo 3
Vamos expandir essa combinação linear:
Agora, vamos distribuir os termos:
Passo 4
Para que essa combinação seja igual a zero para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c. Se conseguirmos encontrar uma solução diferente de a = b = c = 0, então os vetores são linearmente dependentes.
Podemos usar métodos de eliminação. Vamos começar reduzindo o sistema:
Da primeira equação:
a = -b - 2c
Substituindo a nas demais equações:
Segunda equação:
-3(-b - 2c) - b + 4c = 0 3b + 6c - b + 4c = 0 2b + 10c = 0 b = -5c