No , determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se os vetores , e em são linearmente dependentes. Estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de dependência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, queremos saber se existem escalares , e , não todos zero, tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema:
1 & 1 & 2 2 & -3 & -1 -3 & 2 & 5
Para verificar se existe uma solução não trivial, podemos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes; se for diferente de zero, são linearmente independentes.
O determinante calculado foi det = -30, que é diferente de zero. Isso significa que o sistema homogêneo só possui a solução trivial (a = b = c = 0), indicando que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores (1,2,-3), (1,-3,2) e (2,-1,5) são linearmente independentes.