No espaço das matrizes reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se três matrizes reais são linearmente dependentes no espaço . Basicamente, a gente quer saber se uma dessas matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como montar um sistema de equações para testar isso. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial deles que resulta na matriz zero. Ou seja, existe algum conjunto de coeficientes, não todos zero, tal que:
onde , e são as matrizes dadas, e , , são escalares reais.
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear com as matrizes fornecidas:
Isso resulta em uma matriz onde cada elemento é a combinação dos elementos correspondentes das matrizes multiplicadas pelos coeficientes , e .
Passo 4
Vamos escrever as equações para cada posição da matriz resultante igual a zero:
Passo 5
Agora, simplificamos cada equação:
a + b + c = 0 a + c = 0 a = 0 a + b = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os coeficientes , e .
Passo 6
Da terceira equação 0 + c = 0 Rightarrow c = 0 , já sabemos que 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 . Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na quarta equação:
Passo 7
Com , e , vemos que a única solução para o sistema é a trivial, ou seja, todos os coeficientes são zero. Isso significa que não existe uma combinação linear não trivial que resulte na matriz zero.
Resposta
As três matrizes são linearmente independentes no espaço .