No espaço M2 times 2(R) das matrizes 2 times 2 reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
[ll1 & 1 1 & 1],[ll1 & 0 0 & 1],[ll1 & 1 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se três matrizes reais são linearmente dependentes no espaço . Basicamente, a gente quer saber se uma dessas matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como montar um sistema de equações para testar isso. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa aA + bB + cC = 0 . Um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial deles que resulta na matriz zero. Ou seja, existe algum conjunto de coeficientes, não todos zero, tal que:
onde , e são as matrizes dadas, e , , são escalares reais.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear com as matrizes fornecidas:
a 1 & 1 1 & 1 + b 1 & 0 0 & 1 + c 1 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta em uma matriz onde cada elemento é a combinação dos elementos correspondentes das matrizes multiplicadas pelos coeficientes , e .

Passo 4

Vamos escrever as equações para cada posição da matriz resultante igual a zero:
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = 0 (posição [1,1]) a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 0 (posição [1,2]) a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 = 0 (posição [2,1]) a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 (posição [2,2]) çãçãçãçã

Passo 5

Agora, simplificamos cada equação:
a + b + c = 0 a + c = 0 a = 0 a + b = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os coeficientes , e .

Passo 6

Da terceira equação 0 + c = 0 Rightarrow c = 0 , já sabemos que 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 . Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na quarta equação:

Passo 7

Com , e , vemos que a única solução para o sistema é a trivial, ou seja, todos os coeficientes são zero. Isso significa que não existe uma combinação linear não trivial que resulte na matriz zero.

Resposta

As três matrizes são linearmente independentes no espaço .

Exercícios relacionados