Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes D e P que diagonaliza T e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ). T: Re^3 Re^3, T(x, y, z)=(x,-2 x+3 y-z,-4 y+3 z)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes e que diagonalizam e escrever o operador diagonalizado. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, representamos o operador A = 1 & 0 & 0 -2 & 3 & -1 0 & -4 & 3 como uma matriz . Observando a definição de , podemos escrever a matriz associada:

Passo 3

Para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Isso é feito resolvendo a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & 3 - lambda & -1 0 & -4 & 3 - lambda
Calculando det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(-4)] = (1 - lambda)((3 - lambda)^2 - 4) :
(1 - lambda)[(3 - lambda)^2 - 4] = 0
Calculamos o determinante:
(1 - lambda)lambda^2 - 6lambda + 5 = 0
Resolvendo a equação:
lambda1 = 1, lambda2 = 5, lambda3 = 1
Expandindo:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para 0 & 0 & 0 -2 & 2 & -1 0 & -4 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 1 1 2 :
-4 & 0 & 0 -2 & -2 & -1 0 & -4 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0
Simplificando, obtemos o autovetor 0 1 -2 .
Para 1 1 2 :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos o autovetor .
Para :
Já encontramos o autovetor . Como temos autovalores repetidos, precisamos verificar se há autovetores adicionais.

Passo 5

Verificamos a multiplicidade geométrica do autovalor . Como encontramos apenas um autovetor para e a multiplicidade algébrica é 2, o operador não possui uma base completa de autovetores. Portanto, não é diagonalizável.

Resposta

O operador linear não é diagonalizável, pois não possui uma base completa de autovetores.

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