Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes e que diagonaliza e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes e que diagonalizam e escrever o operador diagonalizado. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, representamos o operador como uma matriz . Observando a definição de , podemos escrever a matriz associada:
Passo 3
Para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Isso é feito resolvendo a equação característica:
Calculando :
Calculamos o determinante:
Resolvendo a equação:
Expandindo:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos o autovetor .
Para :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos o autovetor .
Para :
Já encontramos o autovetor . Como temos autovalores repetidos, precisamos verificar se há autovetores adicionais.
Passo 5
Verificamos a multiplicidade geométrica do autovalor . Como encontramos apenas um autovetor para e a multiplicidade algébrica é 2, o operador não possui uma base completa de autovetores. Portanto, não é diagonalizável.
Resposta
O operador linear não é diagonalizável, pois não possui uma base completa de autovetores.