Verificar se os operador linear é diagonalizável. Caso seja, determinar as matrizes e que diagonaliza e escreva o operador diagonalizado ( T na base P ).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar as matrizes e que diagonalizam e escrever o operador diagonalizado. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, representamos o operador como uma matriz . Observando a definição de , podemos escrever a matriz associada:

Passo 3

Para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Isso é feito resolvendo a equação característica:
Calculando :
Calculamos o determinante:
Resolvendo a equação:
Expandindo:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos o autovetor .
Para :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos o autovetor .
Para :
Já encontramos o autovetor . Como temos autovalores repetidos, precisamos verificar se há autovetores adicionais.

Passo 5

Verificamos a multiplicidade geométrica do autovalor . Como encontramos apenas um autovetor para e a multiplicidade algébrica é 2, o operador não possui uma base completa de autovetores. Portanto, não é diagonalizável.

Resposta

O operador linear não é diagonalizável, pois não possui uma base completa de autovetores.

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