São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (e) falha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos vários conjuntos com operações de soma vetorial e multiplicação por escalar. A gente precisa descobrir quais desses conjuntos têm essas operações bem definidas para todos os elementos e quais deles cumprem todas as regras de um espaço vetorial real. Ah, e se algum não for espaço vetorial, a gente tem que mostrar qual regra falha, especialmente o axioma (e) que diz que .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais é um conjunto com duas operações: soma vetorial e multiplicação por escalar, que satisfazem certos axiomas. Esses axiomas garantem que a soma e a multiplicação se comportam de maneira “legal”, tipo na algebra básica.

Passo 3

As operações estarem bem definidas significa que, ao aplicar soma ou multiplicação, o resultado também está no conjunto . Então, pra cada conjunto listado, precisamos verificar se somando dois elementos de ou multiplicando um elemento de por um escalar real, a gente continua dentro de .

Passo 4

Agora, vamos focar no axioma (e): . Esse axioma diz que se somarmos dois escalares e depois multiplicarmos pelo vetor, é a mesma coisa que multiplicar cada escalar pelo vetor separadamente e depois somar os resultados. Se isso não for verdade pra algum conjunto , então não é um espaço vetorial.

Passo 5

Então, pra cada conjunto listado na questão, siga esses passos:
  1. Verifique se a soma de dois vetores está em : Some dois elementos quaisquer de e veja se o resultado também está em .
  2. Verifique a multiplicação por escalar: Multiplique qualquer elemento de por um escalar real e veja se o resultado também está em .
  3. Teste o axioma (e): Escolha dois escalares reais e e um vetor em e veja se é válido.

Passo 6

Se todas as operações estiverem bem definidas e todos os axiomas, incluindo o axioma (e), forem satisfeitos, então o conjunto é um espaço vetorial real. Se algum desses pontos falhar, especialmente o axioma (e), então não é um espaço vetorial.

Resposta

Seguindo esses passos, você consegue determinar quais conjuntos formam espaços vetoriais reais e identificar por que os outros não conseguem, especialmente mostrando que o axioma não é satisfeito.

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