São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em
: O axioma (e)
falha.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos vários conjuntos
com operações de soma vetorial e multiplicação por escalar. A gente precisa descobrir quais desses conjuntos têm essas operações bem definidas para todos os elementos e quais deles cumprem todas as regras de um espaço vetorial real. Ah, e se algum não for espaço vetorial, a gente tem que mostrar qual regra falha, especialmente o axioma (e) que diz que
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais é um conjunto
com duas operações: soma vetorial e multiplicação por escalar, que satisfazem certos axiomas. Esses axiomas garantem que a soma e a multiplicação se comportam de maneira “legal”, tipo na algebra básica.
Passo 3
As operações estarem bem definidas significa que, ao aplicar soma ou multiplicação, o resultado também está no conjunto
. Então, pra cada conjunto listado, precisamos verificar se somando dois elementos de
ou multiplicando um elemento de
por um escalar real, a gente continua dentro de
.
Passo 4
Agora, vamos focar no axioma (e):
. Esse axioma diz que se somarmos dois escalares e depois multiplicarmos pelo vetor, é a mesma coisa que multiplicar cada escalar pelo vetor separadamente e depois somar os resultados. Se isso não for verdade pra algum conjunto
, então
não é um espaço vetorial.
Passo 5
Então, pra cada conjunto
listado na questão, siga esses passos:
- Verifique se a soma de dois vetores está em
: Some dois elementos quaisquer de e veja se o resultado também está em . - Verifique a multiplicação por escalar: Multiplique qualquer elemento de
por um escalar real e veja se o resultado também está em . - Teste o axioma (e): Escolha dois escalares reais
e e um vetor em e veja se é válido.
Passo 6
Se todas as operações estiverem bem definidas e todos os axiomas, incluindo o axioma (e), forem satisfeitos, então o conjunto
é um espaço vetorial real. Se algum desses pontos falhar, especialmente o axioma (e), então
não é um espaço vetorial.
Resposta
Seguindo esses passos, você consegue determinar quais conjuntos
formam espaços vetoriais reais e identificar por que os outros não conseguem, especialmente mostrando que o axioma
não é satisfeito.