Se é uma base de um espaço vetorial, mostre que também é uma base desse espaço.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e uma base desse espaço, que é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, a base inicial é . O exercício quer que a gente mostre que outro conjunto de vetores, , também forma uma base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender independência linear e geração do espaço.

Passo 2

Vamos começar verificando se os novos vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, queremos mostrar que se:
então necessariamente .

Passo 3

Vamos expandir essa combinação linear:
Agora, vamos agrupar os termos iguais:

Passo 4

Como é uma base, sabemos que esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes que multiplicam cada vetor devem ser zero para que a combinação dê o vetor zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  1. Da terceira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .

Resposta

Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do espaço vetorial.

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Determine as dimensões de: e .
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(d) dois pontos da parábola, e vértice .