Se é uma base de um espaço vetorial, mostre que também é uma base desse espaço.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e uma base desse espaço, que é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, a base inicial é . O exercício quer que a gente mostre que outro conjunto de vetores, , também forma uma base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender independência linear e geração do espaço.
Passo 2
Vamos começar verificando se os novos vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, queremos mostrar que se:
então necessariamente .
Passo 3
Vamos expandir essa combinação linear:
Agora, vamos agrupar os termos iguais:
Passo 4
Como é uma base, sabemos que esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes que multiplicam cada vetor devem ser zero para que a combinação dê o vetor zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Da terceira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Substituindo e na primeira equação: .
Resposta
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do espaço vetorial.