Se é uma base de um espaço vetorial, mostre que também é uma base desse espaço.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e uma base desse espaço, que é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, a base inicial é . O exercício quer que a gente mostre que outro conjunto de vetores, , também forma uma base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender independência linear e geração do espaço.
Passo 2
Vamos começar verificando se os novos vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, queremos mostrar que se:
então necessariamente .
Passo 3
Vamos expandir essa combinação linear:
Agora, vamos agrupar os termos iguais:
Passo 4
Como é uma base, sabemos que esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes que multiplicam cada vetor devem ser zero para que a combinação dê o vetor zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Da terceira equação: c3 = 0.
Substituindo c3 = 0 na segunda equação: c2 + 0 = 0 Rightarrow c2 = 0.
Substituindo c2 = 0 e c3 = 0 na primeira equação: c1 + 0 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0.
Resposta
Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, os vetores u1, u1+u2, u1+u2+u3 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do espaço vetorial.