Se u1, u2, u3 é uma base de um espaço vetorial, mostre que u1, u1+u2, u1+u2+u3 também é uma base desse espaço.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e uma base desse espaço, que é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, a base inicial é u1, u2, u3. O exercício quer que a gente mostre que outro conjunto de vetores, u1, u1+u2, u1+u2+u3, também forma uma base desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender independência linear e geração do espaço.

Passo 2

Vamos começar verificando se os novos vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, queremos mostrar que se:
c1 u1 + c2 (u1 + u2) + c3 (u1 + u2 + u3) = 0
então necessariamente c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Vamos expandir essa combinação linear:
c1 u1 + c2 u1 + c2 u2 + c3 u1 + c3 u2 + c3 u3 = 0
Agora, vamos agrupar os termos iguais:
(c1 + c2 + c3) u1 + (c2 + c3) u2 + c3 u3 = 0

Passo 4

Como u1, u2, u3 é uma base, sabemos que esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes que multiplicam cada vetor devem ser zero para que a combinação dê o vetor zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 + c3 = 0 c2 + c3 = 0 c3 = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  1. Da terceira equação: c3 = 0.
  2. Substituindo c3 = 0 na segunda equação: c2 + 0 = 0 Rightarrow c2 = 0.
  3. Substituindo c2 = 0 e c3 = 0 na primeira equação: c1 + 0 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0.

Resposta

Como a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, os vetores u1, u1+u2, u1+u2+u3 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do espaço vetorial.

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