No espaço vetorial usual (R^3,+, cdot), escreva o vetor (2,-1,3) como combinação linear dos vetores u=(1,1,0), v=(1,-1,1) e w=(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é escrever o vetor (2, -1, 3) como uma combinação linear dos vetores u = (1, 1, 0), v = (1, -1, 1) e w = (1, 0, -1). Isso significa que precisamos encontrar números (chamados de coeficientes) que, quando multiplicados por esses vetores e somados, resultem no vetor dado. Para isso, vamos usar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação da combinação linear:
(2, -1, 3) = a cdot (1, 1, 0) + b cdot (1, -1, 1) + c cdot (1, 0, -1)
Isso quer dizer que:
2 = a + b + c
-1 = a - b
3 = b - c

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. A segunda equação nos dá uma relação direta entre a e b:
-1 = a - b Rightarrow a = b - 1
Isso facilita substituir a nas outras equações.

Passo 4

Substituindo a = b - 1 na primeira equação:
2 = (b - 1) + b + c
Simplificando:
2 = 2b - 1 + c Rightarrow 3 = 2b + c

Passo 5

Agora, temos duas equações com b e c:
3 = 2b + c
3 = b - c
Vamos somar essas duas equações para eliminar c:
3 + 3 = 2b + c + b - c
6 = 3b Rightarrow b = 2

Passo 6

Com b = 2, podemos encontrar c usando a segunda equação:
3 = 2 - c Rightarrow c = -1

Passo 7

Agora, voltamos para encontrar a usando a = b - 1:
a = 2 - 1 = 1

Resposta

Portanto, o vetor (2, -1, 3) pode ser escrito como combinação linear de u, v e w da seguinte forma:
(2, -1, 3) = 1 cdot (1, 1, 0) + 2 cdot (1, -1, 1) - 1 cdot (1, 0, -1)

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