Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
c) Infelizmente, o metal do o casco se quebrará se arrefecido a uma taxa maior que graus por segundo. Descreva o conjunto de possíveis direções em que ele pode ir para diminuir a temperatura abaixo de essa taxa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma espaçonave que está enfrentando um problema de superaquecimento perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura do casco da nave na posição é dada pela função
Precisamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradientes, para resolver isso. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de resfriamento. A taxa com que a temperatura muda quando a nave se move em uma certa direção é dada pela derivada direcional da função nessa direção.
A derivada direcional em uma direção representada por um vetor unitário é calculada usando o gradiente da função .
Então, precisamos encontrar o gradiente de na posição atual da nave, que é .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a , e .
Calculando cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas na posição :
Portanto, o gradiente na posição atual é:
Passo 4
Agora que temos o gradiente, podemos calcular a derivada direcional. A derivada direcional de na direção do vetor unitário é dada por:
Simplificando:
Passo 5
O exercício nos diz que o metal do casco se quebrará se a temperatura cair a uma taxa maior que graus por segundo. Isso significa que queremos evitar que a derivada direcional seja menor do que , pois uma derivada menor indica um resfriamento mais rápido.
Então, queremos que:
Substituindo a expressão da derivada direcional:
Passo 6
Vamos simplificar essa desigualdade. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por (que é positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
Multiplicando ambos os lados por (o que inverte o sentido da desigualdade):
Simplificando ainda mais dividindo tudo por 2:
Passo 7
Agora, lembremos que o vetor é um vetor unitário, ou seja, satisfaz:
Queremos descrever todas as direções (vetores unitários ) que atendem à desigualdade:
Essa desigualdade define um conjunto de direções em que o movimento da nave resultará em uma taxa de resfriamento que não excede o limite seguro de graus por segundo.
Ou seja, as possíveis direções que a nave pode seguir sem que o casco se quebre são todas aquelas que satisfazem:
e que, ao mesmo tempo,:
Resposta
As direções permitidas para a nave se mover e diminuir a temperatura sem exceder a taxa crítica são todos os vetores unitários que satisfazem:
e:
Essas condições garantem que a taxa de resfriamento não ultrapasse graus por segundo, evitando que o metal do casco se quebre.