Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização (x, y, z) será dada por
T(x, y, z) = e^(10 - x^2 - 2y^2 - 2z^2)
onde x, y e z são medido em metros. Ele está atualmente em (1, 1, 1).
c) Infelizmente, o metal do o casco se quebrará se arrefecido a uma taxa maior que 3 * raiz(2) * e^(10) graus por segundo. Descreva o conjunto de possíveis direções em que ele pode ir para diminuir a temperatura abaixo de essa taxa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma espaçonave que está enfrentando um problema de superaquecimento perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura do casco da nave na posição (x, y, z) é dada pela função
A nave está atualmente na posição . A parte © do exercício diz que o metal do casco vai se quebrar se a temperatura cair mais rápido que 3 * raiz(2) * e^(10) graus por segundo. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais direções a nave pode se mover para que a temperatura diminua, mas sem ultrapassar essa taxa crítica de resfriamento.
Precisamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradientes, para resolver isso. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de resfriamento. A taxa com que a temperatura muda quando a nave se move em uma certa direção é dada pela derivada direcional da função nessa direção.
A derivada direcional em uma direção representada por um vetor unitário é calculada usando o gradiente da função .
Então, precisamos encontrar o gradiente de T na posição atual da nave, que é T.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de T. O gradiente é o vetor das derivadas parciais de T em relação a x, y e z.
Calculando cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a x:
  • Derivada parcial em relação a y:
  • Derivada parcial em relação a z:
Agora, vamos avaliar essas derivadas na posição :
Portanto, o gradiente na posição atual é:

Passo 4

Agora que temos o gradiente, podemos calcular a derivada direcional. A derivada direcional de T na direção do vetor unitário é dada por:
Simplificando:

Passo 5

O exercício nos diz que o metal do casco se quebrará se a temperatura cair a uma taxa maior que 3 * raiz(2) * e^(10) graus por segundo. Isso significa que queremos evitar que a derivada direcional seja menor do que , pois uma derivada menor indica um resfriamento mais rápido.
Então, queremos que:
Substituindo a expressão da derivada direcional:

Passo 6

Vamos simplificar essa desigualdade. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por e^5 (que é positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
Multiplicando ambos os lados por -1 (o que inverte o sentido da desigualdade):
Simplificando ainda mais dividindo tudo por 2:

Passo 7

Agora, lembremos que o vetor é um vetor unitário, ou seja, satisfaz:
Queremos descrever todas as direções (vetores unitários u) que atendem à desigualdade:
Essa desigualdade define um conjunto de direções em que o movimento da nave resultará em uma taxa de resfriamento que não excede o limite seguro de 3 * raiz(2) * e^(10) graus por segundo.
Ou seja, as possíveis direções que a nave pode seguir sem que o casco se quebre são todas aquelas que satisfazem:
e que, ao mesmo tempo,:

Resposta

As direções permitidas para a nave se mover e diminuir a temperatura sem exceder a taxa crítica são todos os vetores unitários que satisfazem:
e:
Essas condições garantem que a taxa de resfriamento não ultrapasse 3 * raiz(2) * e^(10) graus por segundo, evitando que o metal do casco se quebre.

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