Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
c) Infelizmente, o metal do o casco se quebrará se arrefecido a uma taxa maior que graus por segundo. Descreva o conjunto de possíveis direções em que ele pode ir para diminuir a temperatura abaixo de essa taxa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma espaçonave que está enfrentando um problema de superaquecimento perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura do casco da nave na posição é dada pela função
A nave está atualmente na posição . A parte © do exercício diz que o metal do casco vai se quebrar se a temperatura cair mais rápido que graus por segundo. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais direções a nave pode se mover para que a temperatura diminua, mas sem ultrapassar essa taxa crítica de resfriamento.
Precisamos usar um pouco de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradientes, para resolver isso. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de resfriamento. A taxa com que a temperatura muda quando a nave se move em uma certa direção é dada pela derivada direcional da função nessa direção.
A derivada direcional em uma direção representada por um vetor unitário é calculada usando o gradiente da função .
Então, precisamos encontrar o gradiente de na posição atual da nave, que é .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a , e .
Calculando cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas na posição :
Portanto, o gradiente na posição atual é:

Passo 4

Agora que temos o gradiente, podemos calcular a derivada direcional. A derivada direcional de na direção do vetor unitário é dada por:
Simplificando:

Passo 5

O exercício nos diz que o metal do casco se quebrará se a temperatura cair a uma taxa maior que graus por segundo. Isso significa que queremos evitar que a derivada direcional seja menor do que , pois uma derivada menor indica um resfriamento mais rápido.
Então, queremos que:
Substituindo a expressão da derivada direcional:

Passo 6

Vamos simplificar essa desigualdade. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por (que é positivo, então a desigualdade não muda de sentido):
Multiplicando ambos os lados por (o que inverte o sentido da desigualdade):
Simplificando ainda mais dividindo tudo por 2:

Passo 7

Agora, lembremos que o vetor é um vetor unitário, ou seja, satisfaz:
Queremos descrever todas as direções (vetores unitários ) que atendem à desigualdade:
Essa desigualdade define um conjunto de direções em que o movimento da nave resultará em uma taxa de resfriamento que não excede o limite seguro de graus por segundo.
Ou seja, as possíveis direções que a nave pode seguir sem que o casco se quebre são todas aquelas que satisfazem:
e que, ao mesmo tempo,:

Resposta

As direções permitidas para a nave se mover e diminuir a temperatura sem exceder a taxa crítica são todos os vetores unitários que satisfazem:
e:
Essas condições garantem que a taxa de resfriamento não ultrapasse graus por segundo, evitando que o metal do casco se quebre.

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Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
b) Se a espaçonave viaja a metros por segundo, quão rápido será a diminuição da temperatura se ele prosseguir Essa direção?
Seja . Determine .
. Determine .
A integral de linha de um campo escalar sobre um caminho em relação ao comprimento de arco é definida por:
Calcule a integral de linha em relação ao comprimento de arco s, onde é o caminho formado pelo arco da parábola de a , seguido de um segmento de reta de a .